kategoria zbioru

[dlama135]

Dlaczego zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem II kategorii? Proszę o dodatkowe przykłady zbiorów II kategorii.

[Dasio11]

Z definicji zbiór jest II kategorii, jeśli jego dopełnienie jest I kategorii, czyli jest przeliczalną sumą zbiorów nigdziegęstych. Dopełnieniem zbioru liczb niewymiernych jest zbiór liczb wymiernych. Potrafisz uzasadnić, że jest to przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych?

[Dualny91]

Z definicji zbiór jest II kategorii, jeśli jego dopełnienie jest I kategorii, czyli jest przeliczalną sumą zbiorów nigdziegęstych. Dopełnieniem zbioru liczb niewymiernych jest zbiór liczb wymiernych. Potrafisz uzasadnić, że jest to przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych?

To nie jest prawdą. Z definicji zbiór jest II kategorii, gdy nie jest I kategorii, tj. gdy nie da się go przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych. By zauważyć, że Twoja definicja nie jest tożsama z powszechną, wystarczy rozważyć dowolny podzbiór \(\displaystyle{ W}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Zbiory \(\displaystyle{ W}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbb{Q} \setminus W}\) są I kategorii w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).

Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jako zupełna jest II kategorii, więc skoro \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest I kategorii w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (a tak jest w istocie, bo singletony są nigdziegęste), to \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\) jest II kategorii w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (skończona suma zbiorów I kategorii jest I kategorii).

Warto zauważyć, że pytanie autora postu nie było precyzyjne. Np. zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest II kategorii w sobie, natomiast nigdziegęsty (więc I kategorii) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Istotne jest w jakiej przestrzeni rozpatrujemy kategorię. Ciekawostka: \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\) jako metryzowalna w sposób zupełny jest także II kategorii w sobie, natomiast \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest także I kategorii w sobie (nigdziegęstość singletów oczywiście się nie zmienia).

[Jan Kraszewski]

Zbiory, których dopełnienia są pierwszej kategorii nazywa się rezydualnymi. A tak naprawdę nazywało się, bo to raczej dawna terminologia. Obecnie dominuje wygodniejsza terminologia anglojęzyczna: meager sets (I kategorii), non-meager sets (II kategorii) i comeager sets (rezydualne). I mimo że cenię swój język ojczysty, to dla mnie język angielski w kwestiach terminologicznych jest wygodniejszy.

JK

[Dasio11]

To nie jest prawdą.

Rzeczywiście, pomyliło mi się z comeagerami.