Równoważność metryk.

[Waszok]

Witam,
rozważamy przestrzeń \(\displaystyle{ Y=\{0,1,\ldots,k-1\}}\), gdzie \(\displaystyle{ k\geq 2}\) z topologią dyskretną. Następnie bierzemy nieskończony iloczyn kartezjański przestrzeni \(\displaystyle{ Y}\), otrzymując \(\displaystyle{ X=Y^\mathbb{Z}}\). Oczywiście ta przestrzeń jest metryzowalna. W \(\displaystyle{ X}\) wprowadzamy więc następujące metryki:

\(\displaystyle{ d((x_n),(y_n))=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{d_Y(x_n,y_n)}{1+d_Y(x_n,y_n)}\cdot\frac{1}{2^{|n|}}}\),
gdzie \(\displaystyle{ d_Y(x_n,y_n)}\) jest metryką dyskretną na \(\displaystyle{ Y}\);

\(\displaystyle{ d'((x_n),(y_n))=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{|x_n-y_n|}{2^{|n|}}}\).

I teraz moje pytanie brzmi, czy powyższe metryki są równoważne? Wydaje mi się, że są, ale jak to formalnie pokazać?
Ogólnie trzeba by chyba wziąć ciąg ciągów z przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) i pokazać, że jeśli zbiega on do jakiegoś \(\displaystyle{ (x_n)\in X}\) względem metryki \(\displaystyle{ d}\), to zbiega do \(\displaystyle{ (x_n)}\) również względem metryki \(\displaystyle{ d'}\). Ale jak to dokładnie zapisać, jak pokazać tę zbieżność?

Z góry dziękuję za pomoc.

[Dualny91]

1) Dla dowolnej przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (Y,d_{Y})}\) funkcja \(\displaystyle{ d:=\frac{d_Y}{1+d_Y}}\) jest metryką w \(\displaystyle{ Y}\) równoważną do \(\displaystyle{ d_Y}\). (sprawdź to)

2) Topologia produktowa w produkcie \(\displaystyle{ Y^{\mathbb{Z}}}\) jest najmniejszą, przy której wszystkie rzutowania są ciągłe. Okazuje się, że dla przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (Y,d_Y)}\) topologia produktowa w \(\displaystyle{ Y^{\mathbb{Z}}}\) jest wyznaczona przez metrykę: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{d_Y(x_n,y_n)}{2^{|n|}}}\). Zbieżność w produkcie przestrzeni metrycznych odbywa się po współrzędnych.

Zatem sprawdź 1) oraz to, że Twoje dwie metryki w produkcie mają tę własność, że ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny po współrzędnych.