Homeomorfizm między domknięciami/wnętrzami.

[Red John]

Czy jeżeli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są homeomorficzne, to czy ich domknięcia (wnętrza) również?

[szw1710]

Wskazówka: homeomorfizm przeprowadza zbiory otwarte na zbiory otwarte i zbiory domknięte na zbiory domknięte. Wynika to z bijektywności i ciągłości odwzorowania odwrotnego.

[Red John]

Czyli jak \(\displaystyle{ f:A \rightarrow B}\) - homeomorfizm, to mam bazować na tym że \(\displaystyle{ f(\overline{A})=\overline{f(A)}}\) oraz \(\displaystyle{ f(int(A))=int(f(A))}\)? I np z tego, że \(\displaystyle{ f}\) - surjekcja to \(\displaystyle{ f(A)=B}\), czyli \(\displaystyle{ \overline{B}=\overline{f(A)}=f(\overline{A})}\). Dowodzi to czegoś?

[Takahashi]

Nie, homeomorfizm nie musi przedłużać się do domknięć. Pomyśl o takim przykładzie: otwarty odcinek oraz prosta rzeczywista (oba zbiory jako podzbiory płaszczyzny) są homeomorficzne (proste ćwiczenie, że przeskalowany tangens zachowuje topologię). Ich domknięcia jednak istotnie się różnią: domknięty odcinek jest zwarty, natomiast prosta rzeczywista nie.

W ogólności, pojęcie domknięcia przestrzeni (traktowanej jako samodzielny byt) nie ma sensu.

Książeczka Jänicha zawiera pouczający przykład (metrycznych) przestrzeni homeomorficznych o różnych uzupełnieniach.

[Red John]

Rozumiem. A co w takim przypadku z wnętrzami?

[leg14]

Niech \(\displaystyle{ \RR =X}\) ze standardowa topologia i niech \(\displaystyle{ Y = \RR}\) z topologia dyskretna. Czy potrafisz wskazac takie dwa punkty \(\displaystyle{ p,q}\) nalezace do sumy rozlacznej \(\displaystyle{ X \cup Y}\), ktore sa homeomorficzne ( z topologia podprzestrzeni), ale ktorych wnetrza w \(\displaystyle{ X \cup Y}\) nie?

[Red John]

Co do wnętrza, jednak wychodzi, że homoemorofizm przenosi się.

Jak mamy \(\displaystyle{ f: A\rightarrow B}\) -homeo. To odwzorowanie \(\displaystyle{ f}\) zawężone do \(\displaystyle{ int A}\), \(\displaystyle{ f|_{intA}: int(A) \rightarrow f(int(A))=int (f(A))=int(B)}\) jest homeomorfizmem.

[leg14]

Ale Ty musisz mowic o wnetrzu w kontekscie jakiejs wiekszej przestrzeni, wtedy nie jest prawda to co napisales (podalem Ci wyzej wskazówkę do kontrprzykladu), jesli nie masz zadnych przestrzeni zawierajacych dziedzine i kodziedzinę to pytanie nie ma sensu

Edit: co by była jasność, możesz zadać dwa pytania (nie wiem, które z nich tak naprawdę zadałeś):

I) Mamy dwie przestrzenie topologiczne i homeomorfizm \(\displaystyle{ f}\) między nimi - \(\displaystyle{ f:(A,T_{A}) \rightarrow (B,T_{B})}\). Twoje pytania - "czy obcięcie \(\displaystyle{ f}\) do wnętrza \(\displaystyle{ A}\) pozostaje homeomorfizmem? Czy homeomorfizm przedłuża się do domknięcia \(\displaystyle{ A}\)?" - nie mają sensu, ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest swoim wnętrzem i domknięciem.

II) Mamy dwie podprzestrzenie przestrzeni topologicznych z metryką podprzestrzeni - \(\displaystyle{ A' \subset A, B' \subset B}\) oraz homeomorfizm \(\displaystyle{ f: (A',T_{A_{|A'}}) \rightarrow (B',T_{B_{|B'}})}\). Twoje pytania - " Czy \(\displaystyle{ f}\) przedłuża się do homeomorfizmu z domknięcia \(\displaystyle{ A'}\) w \(\displaystyle{ A}\) do domknięcia \(\displaystyle{ B'}\) w \(\displaystyle{ B}\)? Czy obcięcie \(\displaystyle{ f}\) do wnętrza \(\displaystyle{ A'}\) w \(\displaystyle{ A}\) daje homeomorfizm pomiędzy tym wnętrzem, a wnetrzem \(\displaystyle{ B'}\) w \(\displaystyle{ B}\)?" Odpowiedz brzmi nie - podałem Ci wyżej propozycję kontrprzykładu dla wnętrz.

[Dualny91]

Można też rozważyć \(\displaystyle{ [0,1)}\) w \(\displaystyle{ [0,1]}\) i \(\displaystyle{ [0,1)}\) w \(\displaystyle{ \RR}\) (jako kontrprzykład dla tezy, że homeomorficzność zbiorów przenosi się na wnętrza).