Matematyka.pl

Sprawdzić czy jest to metryka:

\(\displaystyle{ d(x,y):=\begin{cases} |x-y| \hbox { dla } |x| = |y|\\1 + |x - y| \hbox { dla } |x| |y|\end{cases} x, y N}\)


Jeżeli tak, wyznaczyć kulę K(1,2)

Warunek pierwszy i drugi raczej nie wymagają obliczeń. Warunek trzeci:
\(\displaystyle{ d(x,y)+d(y,z) = 1 + |x-y| + 1 + |y-z| = 2 + |x-y| + |y-z| > 2+|x-z| > 1 + |x-z| = d(x,z)}\)
zatem mamy do czynienia z metryką.
Szukamy kuli:
\(\displaystyle{ 1+|1-y| < 2 \\
|1-y| < 1}\)
Czyli \(\displaystyle{ K(1,2) = \{ (x,y) \mathbb{N} : x=1, \ y (0,2) \} = \{(1,1)\}}\).

czemu bierzemy pod uwage rowność 1 + | x - y | w trzecim przypadku a nie np |x - y|

[ Dodano: 27 Sierpnia 2007, 15:08 ]
i czy tam gdzie jest |x| = |y| lub rózne to nie trzeba jakoś rozpisywać na przypadki w 3 punkcie sprawdzania???

czemu bierzemy pod uwage rowność 1 + | x - y | w trzecim przypadku a nie np |x - y|

rozpisuję lewą stronę, stąd 1+|x-y|

i czy tam gdzie jest |x| = |y| lub rózne to nie trzeba jakoś rozpisywać na przypadki w 3 punkcie sprawdzania???

nie, bo gdy dwie liczby są równe to skorzystamy z pierwszego warunku zatem zawsze rozpatrujemy x, y i z różne od siebie.

no wiem ale dlaczego właśnie z warynku 2 korzystam?? w 3 przpadka a nie z pierwszego np. I dlaczego x, y , z są zawsze różne??

[ Dodano: 28 Sierpnia 2007, 11:58 ]
czy tą kulę można narysować ??

Jeśli \(\displaystyle{ x = z = y}\), to z pierwszego warunku:
\(\displaystyle{ d(x, y) + d(y, z) = d(x, z) = 0}\),
jeśli \(\displaystyle{ x\neq z}\) oraz \(\displaystyle{ x = y}\) i \(\displaystyle{ y z}\) (bądź na odwrót \(\displaystyle{ x y}\) i \(\displaystyle{ y = z}\)), to po obu stronach dostaniemy \(\displaystyle{ d(x, z)}\) i również zajdzie równość,
a jeśli \(\displaystyle{ x = z}\) oraz \(\displaystyle{ x\neq z, \ y z}\) to lewa strona jest dodatnia, a prawa równa \(\displaystyle{ 0}\) (z pierwszego warunku).

a jesli jest takie samo zadanie tylko ze warunki sa takie ze dla
|x - y| dla x,y nalezących do zbioru liczb wymiernych
1+ |x - y| dla x, y należących do zbioru liczb niewymiernych
To bedziemy tak samo rozwizywać??

[ Dodano: 6 Września 2007, 13:07 ]
Sory tam mają być warunki:
x- y należy do wymiernych
lub
x - y nalezy do niewymiernych