Przedział jest zbiorem spójnym

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 20:57

Cześć !

Szukam dowodu w sieci, odnośnie tego, że przedział postaci \(\displaystyle{ (a,b), [a,b], (a, + \infty) , (- \infty, a)}\) jest zbiorem spójnym. Dowód z wykładu jest dla mnie bardzo niezrozumiały.

Proszę o pomoc.

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 9 lut 2015, o 21:08

Spróbuj zatem wyjaśnić niejaność. Niedawno był tutaj temat na temat spójności \(\displaystyle{ [0,1)}\).

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 9 lut 2015, o 21:09

A co miałeś na wykładzie? Czy dowód ze Cię zadowala?

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 22:29

Spektralny, Medea 2, oto dowód z mojego wykładu:

Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) przestrzeni \(\displaystyle{ (\RR, \mathcal{O}_{\NN})}\) jest spójny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) S jest przedziałem.

Co rozumiemy poprzez słowo przedział? Bo to często już jest problemem. Otóż \(\displaystyle{ S}\) jest przedziałem, jeśli \(\displaystyle{ \forall_{a,b,c} a,b \in S \wedge a<c<b \Rightarrow c \in S}\).

Dowód:

"\(\displaystyle{ \Leftarrow}\)"

\(\displaystyle{ S}\)- przedział. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ S=A \cup B, A= \overline{A}, B=\overline{B}, A \cap B= \emptyset , A \neq \emptyset \neq B}\). Niech \(\displaystyle{ a \in A , b \in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ [a,b] \in S}\). Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ a<b}\). Niech \(\displaystyle{ c= \sup\left\{ A \cap \left[ a,b\right] \right\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ c \in A}\) z domkniętości \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ a \le c<b}\) oraz \(\displaystyle{ (c,b] \subset B}\). Ale \(\displaystyle{ B}\) ejst domknięty, więc \(\displaystyle{ c \in B}\). Sprzeczność, bo \(\displaystyle{ A \cap B= \emptyset}\). Czyli nie istnieje taki rozkład, więc \(\displaystyle{ S}\) jest spójny.

Dowód w drugą stronę zaprezentuję potem. Póki co chciałbym zrozumieć ten.
Do momenty określenia kresu górnego kumam. Potem gorzej.-- 9 lut 2015, o 22:39 --Dlaczego \(\displaystyle{ c \in A}\) ? I dlaczego wynika to z domknietości \(\displaystyle{ A}\) ? : )

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 9 lut 2015, o 22:42

Ale dlaczego musi być \(\displaystyle{ A= \overline{A}}\)? Przecież dla \(\displaystyle{ (0,1) \cup(1,2)}\) to się nie uda (\(\displaystyle{ A}\) to pierwszy przedział, \(\displaystyle{ B}\) to drugi)...

Zordon · Post autor: **Zordon** » 9 lut 2015, o 22:44

Bo \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są otwarto-domknięte.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 22:45

Medea 2, oczywiście chciałem napisać, że \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty w sensie podprzestrzeni \(\displaystyle{ S}\). Ale nie wiem jak ten indeks \(\displaystyle{ S}\) wstawić pod daszek : )-- 9 lut 2015, o 22:51 --Zordon, aaaa już chyba wiem, dlaczego \(\displaystyle{ c \in A}\). Bo kres bierzemy na przekroju zbioru \(\displaystyle{ A}\) ze zbiorem \(\displaystyle{ [a,b]}\). Są to zbiory domknięte, ich przekrój jest zatem też domknięty więc, kres jest przyjmowany, wręcz można mówić tu o maksimum, czyż nie ?

Kibu · Post autor: **Kibu** » 9 lut 2015, o 22:56

leszczu450 pisze:
Dlaczego \(\displaystyle{ c \in A}\) ? I dlaczego wynika to z domknietości \(\displaystyle{ A}\) ? : )

Bo gdyby c nie należało do A, to ponieważ dopełnienie A jest zbiorem otwartym, to pewne otoczenie c byłoby rozłączne z A. Tymczasem z definicji supremum w każdym otoczeniu c musi być element z A.

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 22:58

Kibu, a moje tłumaczenie nie jest dobre?

Kibu · Post autor: **Kibu** » 9 lut 2015, o 23:10

Domkniętość nie wystarczy Jeśli dobrze rozumiem, że powołujesz się na twierdzenie Weierstrassa o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą, to tam w założeniach jest zwartość a nie domkniętość. No ale ok - w przypadku R zbiór domknięty i ograniczony jest zwarty, a zbiór o którym piszesz jest ograniczony (np. przez a i b), więc faktycznie, skoro identyczność jest ciągła, to kres będzie przyjęty . Pytanie, czy gdzieś po drodze w tym rozumowaniu (np. w dowodach twierdzeń, na które się powołujemy) nie skorzystaliśmy z tego, że przedział jest spójny .

Opcja druga: miałeś na myśli, że korzystasz z ciągowej charakteryzacji zbiorów domkniętych - wtedy ok .

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 23:11

Kibu, haha, ok ale idźmy dalej. Dlaczego nagle \(\displaystyle{ (c,b] \subset B}\) ?

Kibu · Post autor: **Kibu** » 9 lut 2015, o 23:15

Bo gdyby tak nie było, to istniałby element większy od \(\displaystyle{ c}\), który należy do \(\displaystyle{ A}\) - sprzeczność z definicją supremum .

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 23:17

Kibu, nie kumam.

Kibu · Post autor: **Kibu** » 9 lut 2015, o 23:22

Gdyby nie było prawdą, że \(\displaystyle{ (c,b]\subset B}\), to istniałby taki punkt \(\displaystyle{ x\in (c,b]}\), że \(\displaystyle{ x}\) nie należy do \(\displaystyle{ B}\). Ale skoro nie należy do \(\displaystyle{ B}\), to należy do \(\displaystyle{ A}\) a skoro jest z \(\displaystyle{ (c,b]}\), to jest większy niż \(\displaystyle{ c}\). No to \(\displaystyle{ c}\) nie może być supremum \(\displaystyle{ A\cap[a,b]}\).

leszczu450 · Post autor: **leszczu450** » 9 lut 2015, o 23:27

Kibu, no teraz rozumiem wszystko ! Więc niestety pomęczę Ciebie jeszcze i napiszę moje całe rozumowanie.

Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ S}\) jest przedziałem. Mam wykazać, że jest on spójny. Załóżmy, że nie jest on spójny, czyli, że mogę przedstawić go jako sumę dwóch, rozłącznych, domkniętych w \(\displaystyle{ S}\) zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\). Teraz co mogę zrobić dalej. Zbyt wiele opcji nie mam. Biorę dowolny element \(\displaystyle{ a \in A , b \in B}\). Załóżmy, dla ustalenia uwagi, że \(\displaystyle{ a<b}\). Rozpatrzę sobie zbiór postaci \(\displaystyle{ A \cap [a,b]}\). Jest to zbiór domknięty i ograniczony, a więc można mówić tutaj o kresie, który będzie przyjmowany. Zatem \(\displaystyle{ c=\sup\left\{ A \cap [a,b]\right\}}\). Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ c \in A}\)- już to wyjaśniłem. Chce jakoś dojść do sprzeczności, więc zauważam, że \(\displaystyle{ (c,b] \in B}\), bo tak jak mówisz, gdyby tak nie było , to wówczas ten zbiorek \(\displaystyle{ (c,b]}\) mógłby tak częściowo zahaczyć o zbiór \(\displaystyle{ A}\). A na mocy gęstości, znalazłoby się coś większego od \(\displaystyle{ c}\) i siedzącego w \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ c}\) nie byłby już kresem górnym zbioru \(\displaystyle{ A \cap [a,b]}\). Teraz skoro \(\displaystyle{ B}\) jest domknięty, to i \(\displaystyle{ c \in B}\). I tu mamy sprzeczność, bo z założenia \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest zbiorem pustym.

Jedno pytanie, które mi się nasuwa, tak już poza wszystkim. Gdzie tak naprawdę ten punkt \(\displaystyle{ c}\) tutaj w tym dowodzie się znajduje. Wydaje mi się, że dochodzimy do sprzeczności w momencie, w którym to \(\displaystyle{ c}\) znajduje się w miejscu gdzie kończy się zbiór \(\displaystyle{ A}\) i zaczyna \(\displaystyle{ B}\). Dobrą mam intuicję ?