Spójność i zbiory rograniczone

[leszczu450]

Cześć!

Walczę ze spójnością i zbiorami rozgraniczonymi.

Zauważyłem, że różnie definiuje się te pojęcia więc:

Przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ \left( X, \mathcal{O}\right)}\) nazywamy spójną, jeśli nie da się jej rozłożyć na sumę dwóch, niepustych i rozłącznych zbiorów otwartych.

Zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) nazywamy rozgraniczonymi, o ile \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) i \(\displaystyle{ A \cap \overline{B}= \emptyset}\).

Twierdzenie, z którym mam problem:

Wykaż, ze przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) jest spójna \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie jest sumą dwóch, niepustych zbiorów rozgraniczonych.

Dowód:
\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią spójną. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest sumą niepustych zbiorów rozgraniczonych \(\displaystyle{ A,B}\). Wówczas z równości \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) wynika, że \(\displaystyle{ X= \overline{A} \cup B}\). Wówczas \(\displaystyle{ B= X \setminus \overline{A}}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem otwartym. Można również zapisać \(\displaystyle{ X=A \cup \overline{B}}\) i wywnioskować analogicznie, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym. Zatem \(\displaystyle{ X= A \cup B}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są otwarte, niepuste i rozłączne, co stoi ze sprzecznością spójności przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).

Wszystko rozumiem, poza jednym krokiem. Dlaczego z tego, że \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B= \emptyset}\) wynika, że \(\displaystyle{ X=\overline{A} \cup B}\) ?

Z góry dzięki!

[Kibu]

\(\displaystyle{ X=A\cup B\subset \overline{A}\cup B\subset X}\), więc faktycznie \(\displaystyle{ X=\overline A\cup B}\), choć faktycznie nie wynika to z tego, że \(\displaystyle{ \overline A\cap B=\emptyset}\). Założenia \(\displaystyle{ \overline A\cap B=\emptyset}\) używasz, żeby pokazać, że z tego, że \(\displaystyle{ \overline A\cup B=X}\) wynika, że \(\displaystyle{ B=X\setminus\overline A}\).

[leszczu450]

Kibu, świetnie ! Dzięki za pomoc : )