Przestrzenie homeomorficzne

[Kaleo]

Q - zbiór liczb wymiernych z przedziału [0,1]
A,B - podprzestrzenie płaszczyzny z metryką euklidesową
\(\displaystyle{ A=(Q \times \mathbb{R}) \cup ([0,1] \times \{0\})}\)
\(\displaystyle{ B=(\{0\}\times \mathbb{R}) \cup \bigcup_{n=1}^{ \infty }(\{ \frac{1}{n}\}\times \mathbb{R}) \cup ([0,1] \times \{0\})}\)
Czy A i B są homeomorficzne?

Wydaje mi się, że nie, bo domknięcie A to cały pas od 0 do 1, a B jest domknięty na płaszczyźnie, ale to jeszcze nie jest uzasadnienie i nie wiem jakie powinno ono być.

[Watolina]

Aby te dwie przestrzenie były homeomorficzne potrzeba aby w obu zachodziła teza twierdzenia Baire'a. Widzimy że w A taka sytuacja nie ma miejsca ponieważ biorąc podzbiór \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] \times \frac{1}{2}}\) otrzymujemy przeliczalnie wiele domkniętych brzegowych zbiorów w postaci \(\displaystyle{ \left\{ q_{i} \right\}}\) ale ich suma nie jest brzegowa bo jest całym \(\displaystyle{ Q \cap \left[ 0,1\right]}\). W tym drugim zbiorze oczywiście jest spełnione to twierdzenie.

[Kaleo]

Dlaczego ma być spełniona teza twierdzenia Baire'a? W twierdzeniu Baire'a jest o zupełności przestrzeni, a zupełność nie jest zachowywana przy homeomorfizmach

[Watolina]

Moim zdaniem jeśli mamy zbior X w którym zachodzi teza tw Baire'a to przy homeomorfizmie ta własność się zachowuje. Załóżmy ze mamy homeomorfizm \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) gdzie \(\displaystyle{ \left( X, T\left( d\right) \right)}\) zupełna i zachodzi w niej tw Baire'a. Wtedy jeśli \(\displaystyle{ F_{n}}\) domknięte i brzegowe w Y to \(\displaystyle{ \bigcup_{n}^{} F_{n}}\) jest brzegowa w Y. Istotnie wiemy że \(\displaystyle{ f^{-1}\left( F_{n} \right)}\) jest domkniety i brzegowy oraz \(\displaystyle{ int f^{-1}\left( F_{n} \right)}\) jest puste, bo gdyby istniał zbiór otwarty niepusty U i \(\displaystyle{ U \subset f^{-1} \left( F_{n} \right)}\) to \(\displaystyle{ f\left( U\right) \subset F_{n}}\) a \(\displaystyle{ F_{n}}\) jest brzegowy. Stąd \(\displaystyle{ \bigcup_{n}^{}f^{-1}\left( F_{n} \right)}\) jest brzegowa \(\displaystyle{ \rightarrow f\left( \bigcup_{n}^{}f^{-1}\left( F_{n} \right) \right)= \bigcup_{n}^{} F_{n}}\)

[Kaleo]

Jak spełnione jest twierdzenie Baire'a to przestrzeń jest metryzowalna w sposób zupełny. Zupełność nie jest zachowywana przy homeomorfizmach, ale metryzowalność w sposób zupełny jest..?

[Dasio11]

Tak.
Przecież jeżeli metryzowalna w sposób zupełny przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ X}\) i przestrzeń topologiczna \(\displaystyle{ Y}\) są homeomorficzne, to istnieje metryka na \(\displaystyle{ X}\) zgodna z topologią i dająca przestrzeń zupełną. Tę metrykę można przenieść przez homeomorfizm na \(\displaystyle{ Y}\) i ta metryka też będzie zgodna z topologią, bo to był homeomorfizm, i będzie dawać przestrzeń zupełną.