Matematyka.pl

Witam, mam udowodnić następujące twierdzenie:
Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii jest zbiorem pierwszej kategorii.
Czy mógłby ktoś napisać jak zacząć ten dowód?
Czy trzeba rozbić zbiór pierwszej kategorii na przeliczalną sumę zbiorów nigdziegęstych, przesunąć te zbiory o \(\displaystyle{ x}\) a wtedy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}(B_{n}+x)=\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}\right)+x}\)?

Tak. I pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty, yo taki jest również \(\displaystyle{ x+A}\). To są immanentne cechy topologii liniowych, gdzie wystarczy znać otoczenia zera, aby mieć całą topologię.

Dziękuję za pomoc.
A jak można pokazać, że \(\displaystyle{ x+A}\) jest nigdziegęsty? Czy trzeba pokazać w jakiś sposób, że jeśli \(\displaystyle{ Int A=\emptyset}\) to \(\displaystyle{ Int (A+x)=\emptyset}\)?

Masz dokładnie (dla każdego zbioru bez względu na dalsze własności) \(\displaystyle{ \text{Int}(x+A)=x+\text{Int}\,A}\). Udowodnij to.

Czy można to udowodnić w taki sposób, czy źle coś myślę:
Jeżeli \(\displaystyle{ a\in (A+x)}\) to jest to równoważne temu, że \(\displaystyle{ \exists_{y\in A} a=y+x}\). Zatem \(\displaystyle{ a\in \mbox{Int}(A+x)\Leftrightarrow \exists_{\epsilon>0} B(a,\epsilon)\subset A+x\Leftrightarrow \exists_{\epsilon>0}\exists_{y\in A} B(x+y,\epsilon)\subset A+x\Leftrightarrow \exists_{\epsilon>0}\exists_{y\in A} B(y,\epsilon)\subset A\Leftrightarrow \exists_{y\in A} y\in \mbox{Int}A\Leftrightarrow a-x\in \mbox{Int}A\Leftrightarrow a\in \mbox{Int}A+x}\)

Zanim zacznę analizować Twoje zapisy powiedz, jakie są realia w Twoim zadaniu. To, co mówię, zachodzi w dowolnej przestrzeni liniowo-topologicznej. Ty posługujesz się metryką, co nie jest potrzebne, aczkolwiek ułatwia sprawę. Więc w jakiej przestrzeni masz się poruszać?

Mam się poruszać w grupie topologicznej z zdefiniowanym działaniem dodawania \(\displaystyle{ (X,+,\tau)}\)

No to świetnie. Zacznij od pokazania, że wszystkie otoczenia otwarte punktu \(\displaystyle{ x\in G}\) są postaci \(\displaystyle{ x+U}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\in U}\). Tak więc aby znać otoczenia otwarte wszystkich punktów, wystarczy nam tylko znać otoczenia otwarte zera.

Mam trochę inne pytanie, gdzie w literaturze można znaleźć to twierdzenie (Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii jest zbiorem pierwszej kategorii)? (z dowodem lub bez)