Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
mrns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: mrns » 21 lis 2014, o 18:22

Witam, mam udowodnić następujące twierdzenie:
Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii jest zbiorem pierwszej kategorii.
Czy mógłby ktoś napisać jak zacząć ten dowód?
Czy trzeba rozbić zbiór pierwszej kategorii na przeliczalną sumę zbiorów nigdziegęstych, przesunąć te zbiory o \(\displaystyle{ x}\) a wtedy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}(B_{n}+x)=\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}\right)+x}\)?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18821
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3747 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: szw1710 » 21 lis 2014, o 18:36

Tak. I pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest nigdziegęsty, yo taki jest również \(\displaystyle{ x+A}\). To są immanentne cechy topologii liniowych, gdzie wystarczy znać otoczenia zera, aby mieć całą topologię.

mrns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: mrns » 22 lis 2014, o 15:11

Dziękuję za pomoc.
A jak można pokazać, że \(\displaystyle{ x+A}\) jest nigdziegęsty? Czy trzeba pokazać w jakiś sposób, że jeśli \(\displaystyle{ Int A=\emptyset}\) to \(\displaystyle{ Int (A+x)=\emptyset}\)?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18821
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3747 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: szw1710 » 22 lis 2014, o 16:38

Masz dokładnie (dla każdego zbioru bez względu na dalsze własności) \(\displaystyle{ \text{Int}(x+A)=x+\text{Int}\,A}\). Udowodnij to.

mrns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: mrns » 22 lis 2014, o 20:42

Czy można to udowodnić w taki sposób, czy źle coś myślę:
Jeżeli \(\displaystyle{ a\in (A+x)}\) to jest to równoważne temu, że \(\displaystyle{ \exists_{y\in A} a=y+x}\). Zatem \(\displaystyle{ a\in \mbox{Int}(A+x)\Leftrightarrow \exists_{\epsilon>0} B(a,\epsilon)\subset A+x\Leftrightarrow \exists_{\epsilon>0}\exists_{y\in A} B(x+y,\epsilon)\subset A+x\Leftrightarrow \exists_{\epsilon>0}\exists_{y\in A} B(y,\epsilon)\subset A\Leftrightarrow \exists_{y\in A} y\in \mbox{Int}A\Leftrightarrow a-x\in \mbox{Int}A\Leftrightarrow a\in \mbox{Int}A+x}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18821
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3747 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: szw1710 » 22 lis 2014, o 20:58

Zanim zacznę analizować Twoje zapisy powiedz, jakie są realia w Twoim zadaniu. To, co mówię, zachodzi w dowolnej przestrzeni liniowo-topologicznej. Ty posługujesz się metryką, co nie jest potrzebne, aczkolwiek ułatwia sprawę. Więc w jakiej przestrzeni masz się poruszać?

mrns
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 15 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: mrns » 22 lis 2014, o 21:17

Mam się poruszać w grupie topologicznej z zdefiniowanym działaniem dodawania \(\displaystyle{ (X,+,\tau)}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18821
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3747 razy

Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: szw1710 » 22 lis 2014, o 22:02

No to świetnie. Zacznij od pokazania, że wszystkie otoczenia otwarte punktu \(\displaystyle{ x\in G}\) są postaci \(\displaystyle{ x+U}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\in U}\). Tak więc aby znać otoczenia otwarte wszystkich punktów, wystarczy nam tylko znać otoczenia otwarte zera.

malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 129
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Re: Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii

Post autor: malwinka1058 » 21 kwie 2021, o 10:34

Mam trochę inne pytanie, gdzie w literaturze można znaleźć to twierdzenie (Przesunięcie zbioru pierwszej kategorii jest zbiorem pierwszej kategorii)? (z dowodem lub bez)

ODPOWIEDZ