Dobranie metryki na N

[VillagerMTV]

Witam! Mam za zadanie zbadać, czy na \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) możemy zadać metrykę tak, aby \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\) było zbiorem spójnym.

Wydaje mi się, że tak się da. Ale zupełnie nie wiem jak to udowodnićzbadać.

[klaustrofob]

w "małym" Kuratowskim jest twierdzenie (jako ćwiczenie), że przestrzeń spójna całkowicie regularna, zawierająca przynajmniej jeden punkt musi być mocy co najmniej kontinuum. metryczne są takie? mam nadzieję, że nic nie przekręcam, masz możliwość sprawdzenia tego?

[VillagerMTV]

Dzisiaj nie, ale jutro prawdopodobnie będę w bibliotece, więc sprawdzę.
"Mały" Kuratowski to "Wstęp do teorii mnogości i topologii" - Kazimierz Kuratowski?


A co do przestrzeni to o regularnych nic nie miałem, więc nie wiem w czym to mi pomoże. Może da się jakoś inaczej? Ewentualnie czy znajdę coś o przestrzeniach regularnych w wyżej wymienionej książce?

[klaustrofob]

myślę, że klucz jest w tym, że metryka jest funkcją ciągła. a funkcja ciągła na przestrzeni spójnej spełnia tw. Darboux (o wartościach pośrednich). jeżeli tak jest, to mógłbyś zbudować odwzorowanie ciągłe z \(\displaystyle{ (N, d)\to (R,|.|)}\). jeżenie nie miałeś tego twierdzenia (Darboux), to musisz je udowodnić . pewnie przez sprzeczność ze spójnością

[VillagerMTV]

Twierdzenie Darboux miałem.

Czyli się nie da dobrać metryki? Bo nie wiem czy dobrze Twoje podpowiedzi rozumiem.

[a4karo]

Nie da się: metryka jest funkcja ciągłą, a ciągłym obrazem zbioru spójnego jest zbiór spójny. Obrazem \(\displaystyle{ \NN\times\NN}\) przez metryke jest zbior co najwyżej przeliczalny w \(\displaystyle{ \RR}\), więc nie oże być spójny.

[VillagerMTV]

Rozumiem. Dziękuję za pomoc!

[klaustrofob]

no nie, ja miałem na myśli raczej taką funkcję \(\displaystyle{ d(p,\cdot):N\to R}\), gdzie p jest ustalonym punktem (np. 0). a4karo niepotrzebnie wprowadza \(\displaystyle{ N\times N}\)