Zbiór o własności Baire'a dowód

[geignarda]

Przyjęłam definicję:
Def. Mówimy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a jeśli da się go przedstawić w postaci \(\displaystyle{ A=G\div P}\) gdzie \(\displaystyle{ G}\) - otwarty, \(\displaystyle{ P}\)- I kategorii (\(\displaystyle{ \div}\) oznacza różnicę symetryczną zbiorów.

Ponieważ w części książek spotkałam się z inna definicją, chcę udowodnić ich równoważność. Stąd mamy twierdzenie:
Tw. \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ A=(G\setminus P)\cup R}\) gdzie \(\displaystyle{ G}\) - otwarty, \(\displaystyle{ P, R}\) - I kategorii.

Proszę o pomoc przy dowodzie.

Dowód.
(\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)) Niech \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a, tzn. \(\displaystyle{ A=G\div P}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\) - otwarty, \(\displaystyle{ P}\) - I kategorii. Niech \(\displaystyle{ R=P\setminus G}\).
Wtedy \(\displaystyle{ R=P\setminus G\subset P}\) jest zbiorem I kategorii jako podzbiór zbioru I kategorii.
Mamy: \(\displaystyle{ A=G\div P=(G\setminus P)\cup (P\setminus G)=(G\setminus P)\cup R}\).
Czyli dowód w pierwszą stronę zakończony.

Jak zrobić dowód w drugą stronę?

[norwimaj]

Ja bym zaczął od rysunku, gdybym umiał ładnie rysować.

W drugą stronę próbowałbym dowieść równości:
\(\displaystyle{ A= G\div ((P\cap G)\cup (R\setminus G)).}\)

[geignarda]

Próbowałam zarówno graficznie jak i przeliczając - bez rezultatu. Jak sobie to narysowałam (choć nie umiem zbyt ładnie), to doszłam do wniosku, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) podany przez Ciebie nie jest tym samym co \(\displaystyle{ (G\setminus P)\cup R}\). Być może się mylę, ale zbiory te różnią się o tę część która jest wspólna dla \(\displaystyle{ G, P}\) i \(\displaystyle{ R}\) (\(\displaystyle{ G\cap P\cap R}\)). Strasznie się w tym zakręciłam. Proszę o jakąś "większą" wskazówkę.

[norwimaj]

W takim razie poprawiamy hipotezę:

\(\displaystyle{ A= G\div (((P\cap G)\setminus R)\cup (R\setminus G)).}\)

[geignarda]

Niech \(\displaystyle{ A=(G\setminus P)\cup R}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\)-otwarty, \(\displaystyle{ P,R}\) - I kategorii.
Pokażemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a, tzn. \(\displaystyle{ A=G\div Q}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) jest I kategorii, a \(\displaystyle{ G}\) - otwarty.
Niech \(\displaystyle{ Q=((P\cap G)\setminus R)\cup (R\setminus G)}\). Jest to zbiór I kategorii jako suma dwóch zbiorów I kategorii.
Pokażemy, że \(\displaystyle{ G\div Q=(G\setminus P)\cup R}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ A=G\div Q=G\div (((P\cap G)\setminus R)\cup (R\setminus G))=G\cup (((P\cap G)\setminus R)\cup (R\setminus G))\quad\setminus \quad G\cap(((P\cap G)\setminus R)\cup (R\setminus G))=(G\cup R)\ \setminus\ [(P\cap G)\setminus R]=(G\setminus (P\cap R)\setminus R)\cup R=(G\setminus P)\cup R.}\)

Jest ok? Przy większości tych działań na zbiorach bazowałam na rysunku. Z drugiej strony, skoro wychodziłam od tego, że \(\displaystyle{ A=(G\setminus P)\cup R}\) to powinnam powyższe rachunki przepisać "od końca"? Czy może zostać tak jak jest?

[norwimaj]

\(\displaystyle{ A=G\div Q}\)

Nie możesz w dowodzie używać równości, którą dowodzisz. To \(\displaystyle{ A}\) powinno być na drugim końcu ciągu równości.

\(\displaystyle{ =(G\setminus (P\cap R)\setminus R)\cup R=}\)

Ten fragment jest wątpliwy.

[geignarda]

Rozpiszę skąd mi się to bierze:
\(\displaystyle{ (G\cup R)\setminus [(P\cap G)\setminus R]=\{G\setminus [(P\cap G)\setminus R]\}\cup \{R\setminus [(P\cap G)\setminus R]\}=\ldots}\)
ale \(\displaystyle{ R\setminus [(P\cap G)\setminus R]= R}\) (bo\(\displaystyle{ R\cap [(P\cap G)\setminus R]=\emptyset}\))
więc dalej mamy
\(\displaystyle{ \ldots=[G\setminus ((P\cap G)\setminus R)]\cup R=(G\setminus P)\cup R=A.}\)
Lepiej?-- 14 mar 2014, o 18:56 --

\(\displaystyle{ =(G\setminus (P\cap R)\setminus R)\cup R=}\)

Ten fragment jest wątpliwy.

Teraz widzę, że tam jest literówka. Powinno być \(\displaystyle{ =(G\setminus [(P\cap G)\setminus R])\cup R=}\).

[norwimaj]

Tak lepiej.

[geignarda]

Dzięki.
Skąd wziąć pomysł na hipotezę? Mam jeszcze przynajmniej jedno twierdzenie którego nie umiem udowodnić "w drugą stronę". Jest jakaś metoda poszukiwania hipotezy?

Np. tu:
Tw. \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a wtedy i tylko wtedy gdy może być przedstawiony jako suma zbioru typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru I kategorii.
W pierwszą stronę wychodzę od własności Baire'a, korzystam z kilku rzeczy i mam co trzeba.
Jak to dowieść w drugą stronę?

[norwimaj]

Zbiory z własnością Baire'a tworzą \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało. Zatem skoro zbiory otwarte mają własność Baire'a, to każdy zbiór borelowski także, w szczególności każdy zbiór typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\). W takim razie suma zbioru \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru pierwszej kategorii jest sumą zbioru otwartego i dwóch zbiorów pierwszej kategorii.

[geignarda]

Czegoś tu nie rozumiem. Faktycznie jest to \(\displaystyle{ \sigma}\)- ciało, zawiera zbiory borelowskie. Stąd zbiór typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) ma własność Baire'a. Ale skąd wniosek że:

W takim razie suma zbioru \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru pierwszej kategorii jest sumą zbioru otwartego i dwóch zbiorów pierwszej kategorii.

Załóżmy, że A da się przedstawić w postaci sumy zbioru typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) i zbioru I kategorii. Pokażemy, że A ma własność Baire'a. Zbiór typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) jest I kategorii, więc jest różnicą symetryczną zbioru otwartego i zbioru I kategorii. Więc mamy:
\(\displaystyle{ A=(G\div Q)\cup P}\), gdzie G- otwarty, Q i P - I kategorii.
Dalej mamy:
\(\displaystyle{ A=(G\div Q)\cup P=(G\setminus Q)\cup (Q\setminus G)\cup P}\)
Zbiór \(\displaystyle{ (Q\setminus G)\cup P}\) jest I kategorii. Zatem na podstawie poprzedniego twierdzenia A ma własność Baire'a.
Tak?

[norwimaj]

Faktycznie, w tym co napisałem była pewna nieścisłość, ale dobrze sobie poradziłaś.

Zbiór typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) jest I kategorii,

Tylko tutaj drobne przejęzyczenie.

[geignarda]

No tak.
Zbiór typu \(\displaystyle{ G_{\delta}}\) ma własność Baire'a.


Mam jeszcze problem z następującym twierdzeniem.
Tw.1. Każdy zbiór \(\displaystyle{ A}\) mający własność Baire'a może być przedstawiony w postaci różnicy symetrycznej zbioru regularnie otwartego \(\displaystyle{ G}\) i zbioru pierwszej kategorii \(\displaystyle{ P}\), tzn. \(\displaystyle{ A=G\div P}\). W dowolnej przestrzeni w której każdy niepusty zbiór otwarty jest zbiorem I kategorii takie przedstawienie jest dokładnie jedno.

Mam z książki zarys dowodu.
Na pewno każdy zbiór regularnie otwarty jest otwarty, więc w tę \(\displaystyle{ \Leftarrow}\) stronę mamy gotowe.
Natomiast w \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) ? Jest wskazówka, by skorzystać z następującego tw:
Tw. 2. Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie regularnie otwarty oraz \(\displaystyle{ N}\) - nigdziegęsty. Wtedy dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ H}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ H=G\setminus\overline{N}}\).

Najpierw pasuje udowodnić tw.2. Przypuścmy, że sobie z tym poradzę - jeszcze nie próbowałam. Ale jak z niego wynika tw.1?

Dowód tw.1. Niech \(\displaystyle{ A}\) ma własność Baire'a, tzn \(\displaystyle{ A=H\div P}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) otwarty, \(\displaystyle{ P}\) - I kategorii. Mamy z tw.2., że \(\displaystyle{ H=G\setminus\overline{N}}\), gdzie \(\displaystyle{ G}\) jest regularnie otwarty oraz \(\displaystyle{ N}\) - nigdziegęsty.
Czyli \(\displaystyle{ A=[G\setminus\overline{N}]\ \div\ P}\). Co dalej?
Jak pokazać jednoznaczność?

[norwimaj]

W dowolnej przestrzeni w której każdy niepusty zbiór otwarty jest zbiorem I kategorii takie przedstawienie jest dokładnie jedno.

Raczej miało być, że każdy niepusty zbiór otwarty jest drugiej kategorii.

Tw. 2. Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie regularnie otwarty oraz \(\displaystyle{ N}\) - nigdziegęsty. Wtedy dowolny zbiór otwarty \(\displaystyle{ H}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ H=G\setminus\overline{N}}\).

Dziwne to sformułowanie. Powinno być chyba, że najpierw mamy zbiór \(\displaystyle{ H}\), a dopiero potem pojawiają się \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ N}\).

Czyli \(\displaystyle{ A=[G\setminus\overline{N}]\ \div\ P}\). Co dalej?

Stwierdzić, że \(\displaystyle{ \overline{N}}\) jest zbiorem pierwszej kategorii?

Jak pokazać jednoznaczność?

Niech \(\displaystyle{ G_1\div P_1=G_2\div P_2}\), gdzie \(\displaystyle{ G_1,G_2}\) są regularnie otwarte, a \(\displaystyle{ P_1,P_2}\) są pierwszej kategorii. Wtedy \(\displaystyle{ (G_1\setminus \overline{G_2})\cup(G_2\setminus \overline{G_1}) \subset G_1\div G_2=P_1\div P_2}\). Następnie należy wywnioskować, że \(\displaystyle{ (G_1\setminus \overline{G_2})\cup(G_2\setminus \overline{G_1})=\emptyset}\), po czym korzystając z regularnej otwartości, że \(\displaystyle{ G_1=G_2}\).

[geignarda]

Raczej miało być, że każdy niepusty zbiór otwarty jest drugiej kategorii.

Oczywiście! Pośpiech i "gubienie literek". Będę uważniejsza.

Dziwne to sformułowanie. Powinno być chyba, że najpierw mamy zbiór \(\displaystyle{ H}\), a dopiero potem pojawiają się \(\displaystyle{ G}\) i \(\displaystyle{ N}\).

Faktycznie, dosyć niefortunnie to sformułowałam. Niech H - otwarty, wtedy istnieją G i N..., że...

Stwierdzić, że \(\displaystyle{ \overline{N}}\) jest zbiorem pierwszej kategorii?

No dobrze. \(\displaystyle{ N}\) jest nigdziegęsty, więc \(\displaystyle{ \overline{N}}\) też jest nigdziegęsty, stąd \(\displaystyle{ \overline{N}}\) jest I kategorii. Dalej jednak nie rozumiem, skąd wynika teza.

Poza definicją zbioru regularnie otwartego nie wiem o nim praktycznie nic (wstyd się przyznać). Doradź proszę jakąś książkę z której można skorzystać.