iloczyn nieskończonej ilości zbiorów otwartych

[leszczu450]

Cześć!

Iloczyn nieskończonej ilości zbiorów otwartych nie jest zbiorem otwartym. Mam podać przykład . Czy nie skłamie, gdy podam taki oto przykład:

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( - \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)}\)

Wydaje mi się , że iloczyn ten równy jest \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\). A zbiór ten nie jest zbiorem otwartym, gdyż nie istnieje żaden dodatni promień.

Wiem, że trochę macham rękoma, ale nie umiem tego inaczej ująć. Piszę własnie z prośbą o doprecyzowanie i o formalny zapis tego o czym mówię.

Z góry dziękuję za pomoc.-- 6 gru 2013, o 16:25 --Tak się teraz zastanwiam, czy to przypadkiem nie zależy też od metryki w jakiej się znajdujemy.Bo na przykład w metryce dyskretnej zbiór jednoelementowy jest już kulą otwartą.

[szw1710]

W obu przypadkach masz rację i nie jest to machanie rękami, a rozumowanie całkowicie poprawne. Może nie mówiłbym, że nie istnieje dodatni promień. Czego promień? Singleton \(\displaystyle{ \{0\}}\) nie zawiera żadnego przedziału i już.

[leszczu450]

szw1710, dziękuję Panu bardzo : )

A czy dobrze rozumuje tutaj?


\(\displaystyle{ U:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[ 3+ 2^{-n}, 5- 2^{-n}\right]}\)

Mam sprawdzić otwartość na \(\displaystyle{ \RR}\) z metryką euklidesową. Wydaje mi się że zachodzi takie coś:


\(\displaystyle{ U:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[ 3+ 2^{-n}, 5- 2^{-n}\right]= \left[ 3,5\right]}\). A przedział \(\displaystyle{ [3,5]}\) oczywiście nie jest zbiorem otwartym, bo biorąc za środek kuli punkt \(\displaystyle{ x=3}\) , jakiego bym nie wybrał \(\displaystyle{ r>0}\) , to kula wyjdzie mi ze zbioru. Dobrze mówię?

[xanowron]

\(\displaystyle{ U:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[ 3+ 2^{-n}, 5- 2^{-n}\right]}\)

Mam sprawdzić otwartość na \(\displaystyle{ \RR}\) z metryką euklidesową. Wydaje mi się że zachodzi takie coś:


\(\displaystyle{ U:= \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[ 3+ 2^{-n}, 5- 2^{-n}\right]= \left[ 3,5\right]}\).

Nie do końca, sprawdź jeszcze raz czy \(\displaystyle{ \left[ 3,5\right] \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[ 3+ 2^{-n}, 5- 2^{-n}\right]}\)

[leszczu450]

xanowron, właśnie mam z takimi zadaniami problem. Pewnie to przedział \(\displaystyle{ \left( 3,5\right)}\). Zgadza się?

[xanowron]

Tak, to przedział \(\displaystyle{ (3,5)}\). Przedział otwarty w metryce euklidesowej jest zbiorem otwartym (ba, jest kulą otwartą).

[leszczu450]

xanowron, dzięki!

A taki przykład: \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( 1- \frac{1}{n} , 2 + \frac{1}{n} \right)}\).

Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( 1- \frac{1}{n} , 2 + \frac{1}{n} \right)= \left[ 1,2\right]}\).

A to oczywiście jest zbiór domknięty. Jest ok?

[xanowron]

Tak. Jednak przydałoby się jakieś uzasadnienie dlaczego ten iloczyn jest takim, a nie innym zbiorem. Aby być superformalnym wypada pokazać zawieranie w dwie strony, jeżeli nie wymagamy takiego formalizmu to byłoby dobrze napisać 1-2 zdania z wyjaśnieniem.

[leszczu450]

xanowron, to bądźmy superformalni. Bo to jest ode mnie wymagane. Zatem muszę udowodnić, że:

1. \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( 1- \frac{1}{n} , 2 + \frac{1}{n} \right) \subset \left[ 1,2\right]}\).

2. \(\displaystyle{ \left[ 1,2\right] \subset \bigcap_{n=1}^{\infty}\left( 1- \frac{1}{n} , 2 + \frac{1}{n} \right)}\)


Jak zawsze, któreś zawieranie jest łatwe, a któreś cięższe. Wydaje mi się , że 2. to to łatwiejsze.

[Winged]

Obierzmy dowolne \(\displaystyle{ x < 1}\). Szukamy \(\displaystyle{ n}\) takiego, że \(\displaystyle{ x \le 1 - \frac{1}{n}}\). Przyjmując \(\displaystyle{ n = \left[ \frac{1}{1-x} \right] + 1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ x \not\in \left( 1- \frac{1}{n} , 2 + \frac{1}{n} \right)}\). Stąd również \(\displaystyle{ x}\) nie należy do przecięcia. Analogicznie postępujemy dla \(\displaystyle{ x>2}\). Łącznie daje to pierwszą inkluzję. Druga jest faktycznie łatwiejsza.