cała przestrzeń i zbiór pusty

[leszczu450]

Cześć!

Jak to możliwe, że cała przestrzeń i zbiór pusty są jednocześnie otwarte i domknięte?

[bartek118]

To chyba jest oczywiste? To, że cała przestrzeń jest otwarta wynika z definicji, zatem zbiór pusty jest domknięty. To, że zbiór pusty jest otwarty również wynika z definicji, zatem cała przestrzeń jest domknięta.

[leszczu450]

bartek118, zbiór pusty jest otwarty - to jest oczywiste? : ) Ja tu oczywistości nie widze! A poza tym co to za dowód, że coś jest oczywiste? : )

[yorgin]

Zbiór pusty jest otwarty, gdyż spełnia (pusto) definicję zbioru otwartego.

Cała przestrzeń jest również otwarta, gdyż wprost z definicji każda kula otwarta zawierająca elementy tej przestrzeni zawarta jest w tejże przestrzeni.

Zatem tak - to jest oczywiste.

Cała przestrzeń i zbiór pusty są również domknięte jako odpowiednie dopełnienia zbiorów otwartych.

[leszczu450]

yorgin, ale co to znaczy spełniać pusto? Wszystko inne co z Bartkiem mówicie rozumiem. Ale tej jednej rzeczy o zbiorze pustym nie czaje.

[Spektralny]

W przestrzeniach metrycznych zbiór otwarty definiuje się jako zbiór \(\displaystyle{ A}\) o tej własności, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in A}\) istnieje takie \(\displaystyle{ r>0}\), że \(\displaystyle{ K(x,r)\subseteq A}\).

Gdy \(\displaystyle{ A=\varnothing}\), to warunek ten jest spełniony automatycznie (poprzednik implikacji fałszywy, więc...).

[yorgin]

Przyjrzyj się definicji otwartości zapisanej dla zbioru pustego:

\(\displaystyle{ \emptyset\ \mbox{otwarty}\ \ \iff \ \ \forall\ x\in \emptyset\ \exists r>0\ \ B(x,r)\subset \emptyset}\).

Czy prawa strona tej równoważności jest spełniona?

Ukryta treść:    

Właśnie tego typu zapisu oznaczają, że warunek jest pusto spełniony. Spełniają go wszystkie elementy zbioru pustego. To jest trochę trudne i nielogiczne na początku, ale po dłuższym zastanowieniu wszystko jest do przegryzienia i zrozumienia.

[leszczu450]

yorgin, Spektralny, niestety ale nadal Was nie rozumiem.

[Spektralny]

Co należy do zbioru pustego? Nic. Więc dla wszystkich jego elementów ten warunek jest spełniony z prostego powodu: nie ma żadnych elementów!

[leszczu450]

Spektralny, no jakkby tak na to spojrzeć to masz racje : )-- 27 paź 2013, o 19:07 --Spektralny, ale patrząc na to w ten sposób jak Ty można też powiedzieć, że skoro nic do tego zbioru nie należy to jak niby to nić miałoby mieć jakieś własności, a co lepsze spełniać je!

[Jan Kraszewski]

No cóż, zbiór pusty potrafi budzić problemy. Znasz ? To wspaniały wiersz o zbiorze pustym.

Jest na to rada - postaraj się rozumować nie wprost. Załóż, że zbiór pusty nie jest otwarty i zobacz, co z tego wynika.

JK

[leszczu450]

Jan Kraszewski, haha : ) Wiersz oczywiście znam. Zbiór pusty natomiast już nie raz sprawia mi problemu w logicznym rozumowaniu. Cięzko stosować co do niego definicja, która już na początku mówi o dowolnym elemencie wybranego zbioru. Wtedy mówienie o definicji w stosunku do zbioru pustego jest bezprzedmiotowe. To tak jakbym mówił o nogach węża ...

[smigol]

To tak jakbym mówił o nogach węża ...

No i właśnie o to mniej więcej chodzi.

[Yelon]

A jak pokazać, że w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{n} , \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \RR ^{n}}\) są jedynymi zbiorami o tej własności?

[Dasio11]

Własność, o której mowa, to spójność przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \RR^n.}\)

Załóżmy nie wprost, że istnieją takie otwarte, niepuste, rozłączne podzbiory \(\displaystyle{ A, B}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n,}\) że \(\displaystyle{ A \cup B = \RR^n.}\)
\(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, więc istnieje takie \(\displaystyle{ a,}\) że \(\displaystyle{ a \in A.}\)
\(\displaystyle{ B}\) jest niepusty, więc istnieje takie \(\displaystyle{ b,}\) że \(\displaystyle{ b \in B.}\)
Zastanówmy się, jak zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) dzielą odcinek \(\displaystyle{ \overline{ab}}\): niech

\(\displaystyle{ \gamma(t) = (1-t) \cdot a + t \cdot b}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0, 1]}\)

i

\(\displaystyle{ L = \gamma^{-1}[ A ] = \{ t \in [0, 1] : (1-t) \cdot a + t \cdot b \in A \}.}\)

Wiemy, że \(\displaystyle{ \gamma(0) = a \in A}\) oraz \(\displaystyle{ \gamma(1) = b \notin A,}\) zatem \(\displaystyle{ 0 \in L}\) oraz \(\displaystyle{ 1 \notin L.}\) \(\displaystyle{ L}\) jest więc ograniczonym z góry podzbiorem \(\displaystyle{ \RR.}\) Niech \(\displaystyle{ s = \sup L.}\)
Zastanów się, do jakich sprzeczności prowadzą dwa przypadki: gdy \(\displaystyle{ s \in L}\) oraz gdy \(\displaystyle{ s \notin L.}\)


Powyższy dowód jest bezpośredni dla \(\displaystyle{ \RR^n.}\) Zwykle robi się trochę bardziej użytecznie: dowodzi się w identyczny sposób, że każda przestrzeń łukowo spójna jest spójna, a następnie (w bardzo prosty sposób), że \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest łukowo spójna.

Przestrzeń metryczną \(\displaystyle{ X}\) nazywamy łukowo spójną, gdy każde jej dwa elementy można połączyć zbiorem, który jest homeomorficzny z przedziałem \(\displaystyle{ [0, 1],}\) tzn. gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X}\) istnieje taki \(\displaystyle{ A \subseteq X,}\) że \(\displaystyle{ x, y \in A}\) oraz \(\displaystyle{ A \simeq [0, 1].}\)