metryka [nierowność trójkąta]

[corrim]

W sumie zadanie proste, tylko nie mogę wpaść na rozsądne podstawienie, żeby udowodnić podstawową właściwość, że mając metrykę (d,X), udowodnić III właściwość metryki, dla metryki \(\displaystyle{ d(x,y)^2}\)

\(\displaystyle{ d(x,z)^2 \le d(x,y)^2 + d(y,z)^2}\)

po prostym przekształceniu
\(\displaystyle{ d(x,z)^2 \le (d(x,y)+d(y,z))^2 -2d(x,y)d(y,z)}\)
troche utknąłem i nie wiem w która stronę pójść, bo próbowałem również korzystać z \(\displaystyle{ 2ab \le a^2 b^2}\)wstawiając w środek nierówności i podkładać wartości mniejsze, ale nie doszedłem do konkretnych wniosków, a musi to być bardzo proste.
\(\displaystyle{ d(x,z)^2 \le d(x,z)^2+ 2d(x,y)d(y,z) \le (d(x,y)+d(y,z))^2}\)

Dziekuje z góry za pomoc.

[smigol]

Metryka euklidesowa na prostej, \(\displaystyle{ x=0, \ z=2, \ y=1}\)

[corrim]

tylko udowodnienie III. właściwości metryki to udowodnienie dla każdego, a nie na przykładzie jednego

ogólnie to chyba po prostu podałem rozwiązanie w pytaniu, bo pomijam środkową nierówność, pierwiastkuje [bo d(x,y)>0] i korzystając z właściwości nierówności trójkąta dla danej metryki (d,X) dostaje to czego szukałem.

[smigol]

Dla tych punktów, które podałem spełniona jest ta nierówność?

[corrim]

Fakt, nie jest

tylko pytanie czy moge na przykladzie podanej metryki stwierdzic brak zachodzenia właściwości, kiedy w treści mam niekonkretną metrykę:

"Dana jest przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (X; d)}\). Sprawdzić, czy przestrzenią metryczną jest struktura \(\displaystyle{ (X; di)}\), gdzie:"

[smigol]

A co to jest \(\displaystyle{ di}\)?

[corrim]

dwa przyklady odległości, nieistotne w tym przypadku:
a) \(\displaystyle{ d_{1}(x; y) = \sqrt{d(x, y)}}\)
b) \(\displaystyle{ d_{2}(x; y) = (d(x, y))^{2}}\)

[smigol]

Podpunkt a) jest prawdziwy - wynika to z wklęsłości pierwiastka. Podpunkt b) jest nieprawdziwy dla dowolnej metryki \(\displaystyle{ d}\) - wskazałem kontrprzykład.