W sumie zadanie proste, tylko nie mogę wpaść na rozsądne podstawienie, żeby udowodnić podstawową właściwość, że mając metrykę (d,X), udowodnić III właściwość metryki, dla metryki \(\displaystyle{ d(x,y)^2}\)
\(\displaystyle{ d(x,z)^2 \le d(x,y)^2 + d(y,z)^2}\)
po prostym przekształceniu
\(\displaystyle{ d(x,z)^2 \le (d(x,y)+d(y,z))^2 -2d(x,y)d(y,z)}\)
troche utknąłem i nie wiem w która stronę pójść, bo próbowałem również korzystać z \(\displaystyle{ 2ab \le a^2 b^2}\)wstawiając w środek nierówności i podkładać wartości mniejsze, ale nie doszedłem do konkretnych wniosków, a musi to być bardzo proste.
\(\displaystyle{ d(x,z)^2 \le d(x,z)^2+ 2d(x,y)d(y,z) \le (d(x,y)+d(y,z))^2}\)
Dziekuje z góry za pomoc.
metryka [nierowność trójkąta]
metryka [nierowność trójkąta]
Ostatnio zmieniony 23 paź 2013, o 13:59 przez pyzol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
metryka [nierowność trójkąta]
tylko udowodnienie III. właściwości metryki to udowodnienie dla każdego, a nie na przykładzie jednego
ogólnie to chyba po prostu podałem rozwiązanie w pytaniu, bo pomijam środkową nierówność, pierwiastkuje [bo d(x,y)>0] i korzystając z właściwości nierówności trójkąta dla danej metryki (d,X) dostaje to czego szukałem.
ogólnie to chyba po prostu podałem rozwiązanie w pytaniu, bo pomijam środkową nierówność, pierwiastkuje [bo d(x,y)>0] i korzystając z właściwości nierówności trójkąta dla danej metryki (d,X) dostaje to czego szukałem.
metryka [nierowność trójkąta]
Fakt, nie jest
tylko pytanie czy moge na przykladzie podanej metryki stwierdzic brak zachodzenia właściwości, kiedy w treści mam niekonkretną metrykę:
"Dana jest przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (X; d)}\). Sprawdzić, czy przestrzenią metryczną jest struktura \(\displaystyle{ (X; di)}\), gdzie:"
tylko pytanie czy moge na przykladzie podanej metryki stwierdzic brak zachodzenia właściwości, kiedy w treści mam niekonkretną metrykę:
"Dana jest przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (X; d)}\). Sprawdzić, czy przestrzenią metryczną jest struktura \(\displaystyle{ (X; di)}\), gdzie:"
Ostatnio zmieniony 23 paź 2013, o 16:17 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex] .
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
metryka [nierowność trójkąta]
dwa przyklady odległości, nieistotne w tym przypadku:
a) \(\displaystyle{ d_{1}(x; y) = \sqrt{d(x, y)}}\)
b) \(\displaystyle{ d_{2}(x; y) = (d(x, y))^{2}}\)
a) \(\displaystyle{ d_{1}(x; y) = \sqrt{d(x, y)}}\)
b) \(\displaystyle{ d_{2}(x; y) = (d(x, y))^{2}}\)
- smigol
- Użytkownik
- Posty: 3454
- Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 353 razy
metryka [nierowność trójkąta]
Podpunkt a) jest prawdziwy - wynika to z wklęsłości pierwiastka. Podpunkt b) jest nieprawdziwy dla dowolnej metryki \(\displaystyle{ d}\) - wskazałem kontrprzykład.