Czy przestrzeń metryczna \(\displaystyle{ (\mathbb{R},d)}\) jest ośrodkowa i zupełna ?
\(\displaystyle{ d(x,y)=\min (1,|x-y|)}\)
Prawdopodobnie wystarczyłoby sprawdzić tylko czy przestrzeń jest zwarta, ale z tym mam problem, dlatego prosiłbym Was o wskazówki.
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2013, o 22:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód:Temat umieszczony w złym dziale. Poprawa wiadomości: \min.
Więc:
Myślę, że przestrzeń metryczna jest zupełna, ponieważ ciąg spełniający warunek Cauchego, czyli wyrazy ciągu od pewnego miejsca są blisko siebie jest zbieżny ponieważ. Wynika to z tego, że w przypadku liczb dowolnie małych różnić wyrazów ciągu nasza metryka jest równa metryce euklidesowej, a w niej ciąg spełniający warunek Cauchego jest zbieżny.
Jeśli chodzi o ośrodkowość, czyli o istnienie w przestrzenie gęstego i przeliczalnego podzbioru - to wydaje mi się, że taki nie istnieje, ale mam problem z pokazaniem tego.
Zbiór liczb wymiernych będzie gęstym i przeliczalnym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych -
(Pomyliłem definicję domknięcia, przy sprawdzeniu gęstości zbioru) - więc jednak omawiana przestrzeń jest ośrodkowa.
