Witam, rodzinę \(\displaystyle{ \{A_s\}_{s \in S}}\) nazwiemy lokalnie skończoną jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\) istnieje jego otoczenie \(\displaystyle{ U_x}\) takie że \(\displaystyle{ \{s \in S: A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony.
W Engelkingu znajdziemy twierdzenie:
Jeśli rodzina \(\displaystyle{ \{A_s\}_{s \in S}}\) jest lokalnie skończona to rodzina \(\displaystyle{ \{cl A_s\}_{s \in S}}\) też.
Dlaczego nie mamy tutaj równoważności która dla mnie wydaje się być oczywista, gdyż jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x}\) istnieje \(\displaystyle{ U_x}\) takie że \(\displaystyle{ \{s \in S: cl A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony to z faktu że \(\displaystyle{ A_s \subset cl A_s}\) mamy od razu że także \(\displaystyle{ \{s \in S: A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony ?!
Rodzina lokalnie skończona
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Rodzina lokalnie skończona
Zapewne dlatego, że dobrym zwyczajem jest zawarcie w treści twierdzenia tylko rzeczy istotnych i pominięcie treści trywialnych.
JK
JK
- lukasz.przontka
- Użytkownik
- Posty: 234
- Rejestracja: 31 maja 2009, o 12:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suszec
- Pomógł: 37 razy
Rodzina lokalnie skończona
Ponieważ \(\displaystyle{ A \subset clA}\) to \(\displaystyle{ \{s \in S \colon clA_s \cap U_x \neq \emptyset \} \supset \{s \in S \colon A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\). Tak więc jeśli rodzina\(\displaystyle{ \{clA_s \}_{s \in S}}\)jest lok. skończona, to także i rodzina\(\displaystyle{ \{A_s \}_{s \in S}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Rodzina lokalnie skończona
Oczywiście bierzemy dowolny \(\displaystyle{ x\in X}\). Niech \(\displaystyle{ U_x}\) będzie takim otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), że zbiór \(\displaystyle{ S_x:=\{s \in S: A_s \cap U_x \neq \emptyset \}}\) jest skończony.
Chcemy znaleźć takie otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\), żeby to otoczenie nie przecinało się z żadnym ze zbiorów \(\displaystyle{ \mathrm{cl} \;A_s}\) dla \(\displaystyle{ s\in S\setminus S_x}\). Takim otoczeniem jest \(\displaystyle{ U_x\setminus\bigcup_{s\in S\setminus S_x}\cl\;A_s}\). Tylko trzeba pokazać, że jest to zbiór otwarty. Zastanów się, czy nie wynika to z jakiejś już poznanej przez Ciebie własności rodzin lokalnie skończonych.
Edit: Oczywiście trzeba też zauważyć, że \(\displaystyle{ x\in U_x\setminus\bigcup_{s\in S\setminus S_x}\cl\;A_s}\).
lukasz.przontka, nadzbiór zbioru skończonego niekoniecznie jest skończony.
Edit: Uwaga niesłuszna. Nie spojrzałem, którą implikację dowodzisz, przepraszam.
Chcemy znaleźć takie otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\), żeby to otoczenie nie przecinało się z żadnym ze zbiorów \(\displaystyle{ \mathrm{cl} \;A_s}\) dla \(\displaystyle{ s\in S\setminus S_x}\). Takim otoczeniem jest \(\displaystyle{ U_x\setminus\bigcup_{s\in S\setminus S_x}\cl\;A_s}\). Tylko trzeba pokazać, że jest to zbiór otwarty. Zastanów się, czy nie wynika to z jakiejś już poznanej przez Ciebie własności rodzin lokalnie skończonych.
Edit: Oczywiście trzeba też zauważyć, że \(\displaystyle{ x\in U_x\setminus\bigcup_{s\in S\setminus S_x}\cl\;A_s}\).
lukasz.przontka, nadzbiór zbioru skończonego niekoniecznie jest skończony.
Edit: Uwaga niesłuszna. Nie spojrzałem, którą implikację dowodzisz, przepraszam.