Homeomorfizm - dowód

[ardianmucha]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ S^{3}/ S^{1}}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ S^{2}}\)

[koobstrukcja]

A to w ogóle jest prawda?

[ardianmucha]

Raczej tak.

[yorgin]

Raczej na pewno. Jest to baza do konstrukcji rozwłóknienia Hopfa. Nie jestem póki co w stanie pokazać homeomorfizmu, jednak być może rozwłóknienie Hopfa pomoże znaleźć rozwiązanie.

[koobstrukcja]

Raczej na pewno. Jest to baza do konstrukcji rozwłóknienia Hopfa. Nie jestem póki co w stanie pokazać homeomorfizmu, jednak być może rozwłóknienie Hopfa pomoże znaleźć rozwiązanie.

Ja wiem co to rozwłóknienie, jednak tu nie widać dzielenia przez grupę, tylko domyślnie zwykłą przestrzeń ilorazową, a może autor postu wyjaśni co dokładnie ma być pokazane, poprzez wyjaśnienie zapisu.

[smigol]

Myślę, że chodzi o różnicę zbiorów - okrąg czterowymiarowy z wyrzuconym okręgiem dwuwymiarowym.

[lukasz.przontka]

Zazwyczaj w topologii zapis \(\displaystyle{ X/A}\) oznacza przestrzeń ilorazową, w której zbiór \(\displaystyle{ A}\) został zgnieciony w punkt.

Przestrzeń \(\displaystyle{ S^3/S^1}\) można zanurzyć w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^5}\).
Jeśli \(\displaystyle{ u(x) = (d_S(x) x, d_S(x))}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in S^3}\), a \(\displaystyle{ d_S}\) jest odległością od okręgu \(\displaystyle{ S^1}\), to przestrzenie \(\displaystyle{ u(S^3)}\) i \(\displaystyle{ S^3/S^1}\) są homeomorficzne.

[ardianmucha]

Chodzi o przestrzeń ilorazową

[koobstrukcja]

Mamy ciąg dokładny:

\(\displaystyle{ \ldots\to H_3(S^1)\to H_3(S^3)\to H_3(S^3/S^1)\to H_2(S^1)\to\ldots}\)

Z tego dostajemy:

\(\displaystyle{ \ldots\to 0\to \mathbb{Z}\to H_3(S^3/S^1)\to 0\to\ldots}\)

Więc \(\displaystyle{ H_3(S^3/S^1)\not\approx 0\approx H_3(S^2)}\), zatem:

\(\displaystyle{ S^3/S^1}\) nie jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ S^2}\).