Hausdorff, zwartość, spójność

[gosia301]

1. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem nieskończonym i niech \(\displaystyle{ \tau=\{A\subset X: X \setminus A\mbox{ jest skończony}\}}\). Pokazać,że \(\displaystyle{ \tau\cup\o}\) jest topologią na \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ (X, \tau )}\) nie jest Hausdorffa.
2. Pokazać, że prosta rzeczywista \(\displaystyle{ \mathbb R}\) jest przestrzenią spójną.
3. Pokazać, że każda przestrzeń metryczna zwarta jest ciągowo zwarta.

[Jan Kraszewski]

Masz na myśli raczej \(\displaystyle{ \tau\cup\{\emptyset\}}\).
Sprawdzasz warunki z definicji topologii.

JK

[lukasz.przontka]

3. Szybki i nie tak trudny dowód to, najpierw pokazujemy, że przestrzeń zwarta ma własność ciągu zstępującego, a następnie korzystając z tej własności pokazuje się, że jest ciągowo zwarta. Twierdzenie 2.1.4. w