Homeomorfizm półprostej z sin(1/x)

razdwatrzycztery · Post autor: **razdwatrzycztery** » 26 maja 2012, o 22:38

Czy \(\displaystyle{ X = \left\{ \left( x,\sin \frac{1}{x} \right) : \ x > 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ Y = \left( 0, \infty \right)}\) są homeomorifczne?

emaerio · Post autor: **emaerio** » 26 maja 2012, o 22:53

Wykres funkcji jest homeomorficzny z dziedziną.

razdwatrzycztery · Post autor: **razdwatrzycztery** » 26 maja 2012, o 23:00

A czy można powiedzieć, że homeomorfizmem z \(\displaystyle{ X \rightarrow Y}\) będzie po prostu rzut?

Ein · Post autor: **Ein** » 27 maja 2012, o 00:09

Można. Tylko musisz rozumieć dlaczego.

razdwatrzycztery · Post autor: **razdwatrzycztery** » 27 maja 2012, o 00:16

Wydaje mi się, że rozumiem. Rzut jest ciągły, odwrotna jest ciągła i jest 1-1 i "na", zatem jest homeomorfizmem między tymi przestrzeniami. Zgadza się?

Ein · Post autor: **Ein** » 27 maja 2012, o 02:39

Tak, przy czym odwrotna jest ciągła, bo produkt kartezjański funkcji ciągłych jest ciągły.