liczba Suslina, waga, gęstość, charakter

[repoka]

Mam zdefiniowaną przestrzeń topologiczną jako:
\(\displaystyle{ T=\{A \subseteq X \cup \{a*\}:a* \in A \Rightarrow |X \setminus A|<\omega\},}\)
gdzie X-niepusty zbiór mocy k, \(\displaystyle{ a*\not \in X}\). Wyznaczyć liczbę Suslina, wagę, gęstość, charakter. Proszę o pomoc.

[Piotr Pstragowski]

Po pierwsze, warto się zastanowić, z jaką przestrzenią masz do czynienia. Na zbiorze \(\displaystyle{ X}\) zadajesz topologię dyskretną, z którą \(\displaystyle{ X}\) staje się lokalnie zwarta. Wtedy Twoja nowa przestrzeń to jej jednopunktowe uzwarcenie. Będę zakładał, że \(\displaystyle{ \kappa}\) jest nieskończona.

1) Liczba Suslina - której definicja, jaką znalazłem, to: najmniejsza liczba kardynalna \(\displaystyle{ \kappa}\), że każda rodzina rozłącznych otwartych podzbiorów jest mniejsza niż \(\displaystyle{ \kappa}\).

Zbiory \(\displaystyle{ \{ x \}}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in X}\), tworzą rozłączną rodzinę podzbiorów otwartych mocy \(\displaystyle{ \kappa}\). Żadna rodzina rozłącznych pozbiorów otwartych nie może być też większa niż \(\displaystyle{ \kappa}\), zatem wnioskujemy, że liczba Suslina przestrzeni to \(\displaystyle{ \kappa +}\), czyli najmniejsza liczba kardynalna większa od \(\displaystyle{ \kappa}\).

Jeśli podasz definicję wagi, gęstości i charakteru, spróbujemy pracować dalej. Ale myślę, że dobrze by było, gdybyś pokazała jakiś własny argument i będziemy go poprawiać.

[Ein]

Przez wagę chyba rozumie ciężar. Charakter to ciężar w punkcie. Nie mam pewności co do gęstości, ale jest to chyba najmniejsza możliwa moc podzbioru gęstego.