Rozważmy zbiór struktur zespolonych na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), tj. takich macierzy \(\displaystyle{ J}\) wymiaru 2, że \(\displaystyle{ J^2 = -I}\).
Czy zbiór tych macierzy (jako podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)) jest gładką rozmaitością? Jaka jest jego topologia?
(Za uogólnienie do \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2n}}\) będę również wdzięczny!)
Struktury zespolone na R^2
-
Piotr Pstragowski
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
-
Piotr Pstragowski
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
Struktury zespolone na R^2
Pracuję w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\). Równanie \(\displaystyle{ J^2 = -I}\) rozwija się jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + bc = -1 \\
ab+bd = 0 \\
ac+cd = 0 \\
cb+d^2 = -1 \\
\end{cases}}\)
Co po krótkich przekształceniach sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = -d \\
det(J) = -1 \\
\end{cases}}\)
Proszę o wskazówki, co powinienem zrobić dalej. (Domyślam się, że potrzebne będzie mi twierdzenie o funkcji uwikłanej?)
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2 + bc = -1 \\
ab+bd = 0 \\
ac+cd = 0 \\
cb+d^2 = -1 \\
\end{cases}}\)
Co po krótkich przekształceniach sprowadza się do:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a = -d \\
det(J) = -1 \\
\end{cases}}\)
Proszę o wskazówki, co powinienem zrobić dalej. (Domyślam się, że potrzebne będzie mi twierdzenie o funkcji uwikłanej?)
-
Ein
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Struktury zespolone na R^2
Twierdzenie o funkcji uwikłanej to dokładnie te rejony, ale samego twierdzenia tu nie potrzeba.
Technika zazwyczaj jest następująca.
Definiujesz gładką funkcję z jednej rozmaitości w drugą: \(\displaystyle{ F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4}\) wzorem: \(\displaystyle{ F(J)=J^2+I}\), czyli u nas będzie to dokładnie:
\(\displaystyle{ F(a,b,c,d)=(a^2+bc+1,ab+bd,ac+cd,cb+d^2+1)}\).
Zauważ, że nas interesuje przeciwobraz punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\), czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0,0,0,0)}\).
Istnieje twierdzenie mówiące, że przeciwobraz wartości regularnej jest podrozmaitością w dziedzinie. Wartość regularna to taka wartość, której każdy punkt przeciwobrazu jest regularny tzn. różniczka funkcji \(\displaystyle{ F}\) w tym punkcie jest przekształceniem liniowym surjektywnym. Czyli my musimy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) jest wartością regularną.
Generalnie trochę liczenia Cię tu czeka.
Prosty przykład definiowania podrozmaitości przez równania masz tutaj: 239071.htm#p891379
Sporo informacji możesz znaleźć w książce Lee, Introduction to smooth manifolds (w rozdziale o tytule Level sets).
Technika zazwyczaj jest następująca.
Definiujesz gładką funkcję z jednej rozmaitości w drugą: \(\displaystyle{ F:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4}\) wzorem: \(\displaystyle{ F(J)=J^2+I}\), czyli u nas będzie to dokładnie:
\(\displaystyle{ F(a,b,c,d)=(a^2+bc+1,ab+bd,ac+cd,cb+d^2+1)}\).
Zauważ, że nas interesuje przeciwobraz punktu \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\), czyli \(\displaystyle{ F^{-1}(0,0,0,0)}\).
Istnieje twierdzenie mówiące, że przeciwobraz wartości regularnej jest podrozmaitością w dziedzinie. Wartość regularna to taka wartość, której każdy punkt przeciwobrazu jest regularny tzn. różniczka funkcji \(\displaystyle{ F}\) w tym punkcie jest przekształceniem liniowym surjektywnym. Czyli my musimy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ (0,0,0,0)}\) jest wartością regularną.
Generalnie trochę liczenia Cię tu czeka.
Prosty przykład definiowania podrozmaitości przez równania masz tutaj: 239071.htm#p891379
Sporo informacji możesz znaleźć w książce Lee, Introduction to smooth manifolds (w rozdziale o tytule Level sets).
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Struktury zespolone na R^2
Pomysł:
Jeśli utożsamimy \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) z ogółem macierzy postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a & b \\ -b & a\end{bmatrix}, \ a,b\in \mathbb{R}}\)
to otrzymamy kanoniczne utożsamienie grupy Liego \(\displaystyle{ GL_{n}(\mathbb{C})}\) z podgrupą domkniętą \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})}\).
Wówczas rozpatrywany zbiór (w ogólnej wersji problemu) jest przestrzenią jednorodną \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})/GL_{n}(\mathbb{C})}\) (rozpatrujemy (przechodnie) działanie \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})}\) na zbiorze struktur zespolonych poprzez sprzężenia; \(\displaystyle{ GL_{n}(\mathbb{C})}\) to dokładnie te macierze, które działają trywialnie), w szczególności rozmaitością różniczkową.
Pozostaje uzasadnić, że struktura rozmaitości otrzymana poprzez działanie grupy Liego zgadza się ze strukturą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4n^{2}}}\).
Jeśli utożsamimy \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) z ogółem macierzy postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}a & b \\ -b & a\end{bmatrix}, \ a,b\in \mathbb{R}}\)
to otrzymamy kanoniczne utożsamienie grupy Liego \(\displaystyle{ GL_{n}(\mathbb{C})}\) z podgrupą domkniętą \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})}\).
Wówczas rozpatrywany zbiór (w ogólnej wersji problemu) jest przestrzenią jednorodną \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})/GL_{n}(\mathbb{C})}\) (rozpatrujemy (przechodnie) działanie \(\displaystyle{ GL_{2n}(\mathbb{R})}\) na zbiorze struktur zespolonych poprzez sprzężenia; \(\displaystyle{ GL_{n}(\mathbb{C})}\) to dokładnie te macierze, które działają trywialnie), w szczególności rozmaitością różniczkową.
Pozostaje uzasadnić, że struktura rozmaitości otrzymana poprzez działanie grupy Liego zgadza się ze strukturą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{4n^{2}}}\).