Metryka i kula
: 5 sie 2011, o 08:42
Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną i niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zbiorem niepustym. Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ \alpha \colon \rightarrow Y}\) jest bijekcją i zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ d_{ alpha }:Y imes Y
ightarrow [0,infty) subset mathbb R}\) za pomocą wzoru \(\displaystyle{ d_{ \alpha }(p,q)=d\left( \alpha ^{-1}(p), \alpha ^{-1}(q)\right)}\)
Udowodnić że jest to metryka i przyjmując \(\displaystyle{ X=\mathbb R,\ Y=\mathbb R>0,\ \alpha (x)=e^{x}}\) oraz że \(\displaystyle{ d}\) jest metryką naturalną narysowac kule domkniętą o środku 1 i promieniu 3 w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (Y,d_{ \alpha })}\)
Z pierwszą częścią sobie poradziłem natomiast mam problem z narysowaniem kuli. Po pierwsze mam tutaj \(\displaystyle{ Y\times Y}\) więc chyba chodzi o punkt \(\displaystyle{ (0,1)}\) jako środek owej kuli i zapisuję:
\(\displaystyle{ B(1,3)=(y:d_{ \alpha }(1,y) \le 3)}\)
No i chcąc nie chcąc wychodzi mi coś takiego
\(\displaystyle{ d\left(e^{-1},e^{-y}\right) \le 3}\) czyli
\(\displaystyle{ e^{-1}-e^{-y} \le 3}\) i nie wiem co z tym dalej zrobic
ightarrow [0,infty) subset mathbb R}\) za pomocą wzoru \(\displaystyle{ d_{ \alpha }(p,q)=d\left( \alpha ^{-1}(p), \alpha ^{-1}(q)\right)}\)
Udowodnić że jest to metryka i przyjmując \(\displaystyle{ X=\mathbb R,\ Y=\mathbb R>0,\ \alpha (x)=e^{x}}\) oraz że \(\displaystyle{ d}\) jest metryką naturalną narysowac kule domkniętą o środku 1 i promieniu 3 w przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (Y,d_{ \alpha })}\)
Z pierwszą częścią sobie poradziłem natomiast mam problem z narysowaniem kuli. Po pierwsze mam tutaj \(\displaystyle{ Y\times Y}\) więc chyba chodzi o punkt \(\displaystyle{ (0,1)}\) jako środek owej kuli i zapisuję:
\(\displaystyle{ B(1,3)=(y:d_{ \alpha }(1,y) \le 3)}\)
No i chcąc nie chcąc wychodzi mi coś takiego
\(\displaystyle{ d\left(e^{-1},e^{-y}\right) \le 3}\) czyli
\(\displaystyle{ e^{-1}-e^{-y} \le 3}\) i nie wiem co z tym dalej zrobic