przestrzeń Hausdorffa
: 2 lip 2011, o 09:32
Nie wiem jak udowodnić następujące twierdzenie: Każda przestrzeń metryczna spełnia aksjomat \(\displaystyle{ T _{2}}\).
Z definicji metryki mamy, że \(\displaystyle{ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\).
Więc dla dowolnych dwóch różnych od siebie punktów odległość musi być dodatnia. Załóżmy że wynosi ona \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\). Bierzemy teraz kulę otwartą \(\displaystyle{ K}\) o promieniu \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2}}\) i środku w \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ y\notin \overline{K}}\). A skoro nie należy do domknięcia, to istnieje jakiś \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\)...