przestrzeń Hausdorffa
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
przestrzeń Hausdorffa
Z definicji metryki mamy, że \(\displaystyle{ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y}\).
Więc dla dowolnych dwóch różnych od siebie punktów odległość musi być dodatnia. Załóżmy że wynosi ona \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\). Bierzemy teraz kulę otwartą \(\displaystyle{ K}\) o promieniu \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2}}\) i środku w \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ y\notin \overline{K}}\). A skoro nie należy do domknięcia, to istnieje jakiś \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\)...
Więc dla dowolnych dwóch różnych od siebie punktów odległość musi być dodatnia. Załóżmy że wynosi ona \(\displaystyle{ \varepsilon_1}\). Bierzemy teraz kulę otwartą \(\displaystyle{ K}\) o promieniu \(\displaystyle{ \frac{\varepsilon}{2}}\) i środku w \(\displaystyle{ x}\). \(\displaystyle{ y\notin \overline{K}}\). A skoro nie należy do domknięcia, to istnieje jakiś \(\displaystyle{ \varepsilon_2}\)...