ciąg cauchy i iloczyn kartezjański

[Krzysiek200017]

Jak pokazac ze ciąg cauchy jest ograniczony w każdej metryce i i loczyn kartezjański przestrzeni zwartych jest zwarty

[szw1710]

Pierwsze - banał. Weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{1}{2}.}\) Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n_0,n}\) mamy \(\displaystyle{ x_n\in K(x_{n_0},\varepsilon).}\) Zostało nam skończenie wiele wyrazów, które można łatwo ograniczyć. Dowód jest analogiczny do tego, że ciąg zbieżny jest ograniczony.

Drugie - twierdzenie Tichonowa. Dla produktu skończenie wielu przestrzeni znów rzecz jest trywialna. Łatwo rozważa się pokrycia otwarte i wybiera z nich podpokrycia skończone. Istotą rzeczy jest tu produkt nieskończenie wielu przestrzeni i postać topologii produktowej. Dowód znajdziesz w Engelkingu "Topologia ogólna".