Wnętrze, domknięcie, uzasadnienie równości
: 28 cze 2011, o 00:35
Witam, zadanie polega na uzasadnieniu równości:
\(\displaystyle{ Int(A \backslash B) = (Int(A)) \backslash cl(A)}\)
Próbowałem zrobić to samodzielnie i chciałbym prosić o sprawdzenie i ewentualne naprowadzenie na właściwą drogę:
1) Zawieranie w prawą stronę.
Niech \(\displaystyle{ x \in Int(A \backslash B)}\). Wtedy istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon}\), że \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \subset (A \backslash B)}\). Czyli \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \in A}\) oraz \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \cap B = \emptyset}\).
Weźmy teraz taki ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset A}\), że \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow x}\). Wtedy prawie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_{n})}\) należą do kuli \(\displaystyle{ K(x, \epsilon)}\), czyli p. wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_{n})}\) nie należą do \(\displaystyle{ B}\). Czyli \(\displaystyle{ x}\) nie jest punktem skupienia \(\displaystyle{ B}\), stąd \(\displaystyle{ x \not\in cl(B)}\). Czyli mamy, że \(\displaystyle{ x \in (Int(A) \backslash cl(B))}\).
2) Zawieranie w lewą stronę.
\(\displaystyle{ (Int(A)) \backslash cl(B) \subset Int(A \backslash B)}\)
Niech \(\displaystyle{ x \in (Int(A)) \backslash cl(B)}\), czyli:
i) \(\displaystyle{ x \in Int (A)}\)
ii) \(\displaystyle{ x \not\in cl(B)}\)
z i) istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon_{1}}\), że \(\displaystyle{ K(x,\epsilon_{1}) \subset A}\)
z ii) istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon_{2}}\), że \(\displaystyle{ B \cap K(x, \epsilon_{2}) = \emptyset}\)
Połóżmy \(\displaystyle{ max\lbrace \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \rbrace = \epsilon_{0}}\)
Wtedy mamy, ze \(\displaystyle{ K(x, \epsilon_{0}) \subset A \backslash B}\), stąd \(\displaystyle{ x \in Int(A \backslash B)}\)
\(\displaystyle{ Int(A \backslash B) = (Int(A)) \backslash cl(A)}\)
Próbowałem zrobić to samodzielnie i chciałbym prosić o sprawdzenie i ewentualne naprowadzenie na właściwą drogę:
1) Zawieranie w prawą stronę.
Niech \(\displaystyle{ x \in Int(A \backslash B)}\). Wtedy istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon}\), że \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \subset (A \backslash B)}\). Czyli \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \in A}\) oraz \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \cap B = \emptyset}\).
Weźmy teraz taki ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset A}\), że \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow x}\). Wtedy prawie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_{n})}\) należą do kuli \(\displaystyle{ K(x, \epsilon)}\), czyli p. wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_{n})}\) nie należą do \(\displaystyle{ B}\). Czyli \(\displaystyle{ x}\) nie jest punktem skupienia \(\displaystyle{ B}\), stąd \(\displaystyle{ x \not\in cl(B)}\). Czyli mamy, że \(\displaystyle{ x \in (Int(A) \backslash cl(B))}\).
2) Zawieranie w lewą stronę.
\(\displaystyle{ (Int(A)) \backslash cl(B) \subset Int(A \backslash B)}\)
Niech \(\displaystyle{ x \in (Int(A)) \backslash cl(B)}\), czyli:
i) \(\displaystyle{ x \in Int (A)}\)
ii) \(\displaystyle{ x \not\in cl(B)}\)
z i) istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon_{1}}\), że \(\displaystyle{ K(x,\epsilon_{1}) \subset A}\)
z ii) istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon_{2}}\), że \(\displaystyle{ B \cap K(x, \epsilon_{2}) = \emptyset}\)
Połóżmy \(\displaystyle{ max\lbrace \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \rbrace = \epsilon_{0}}\)
Wtedy mamy, ze \(\displaystyle{ K(x, \epsilon_{0}) \subset A \backslash B}\), stąd \(\displaystyle{ x \in Int(A \backslash B)}\)