Wnętrze, domknięcie, uzasadnienie równości

[porucznik]

Witam, zadanie polega na uzasadnieniu równości:

\(\displaystyle{ Int(A \backslash B) = (Int(A)) \backslash cl(A)}\)

Próbowałem zrobić to samodzielnie i chciałbym prosić o sprawdzenie i ewentualne naprowadzenie na właściwą drogę:

1) Zawieranie w prawą stronę.

Niech \(\displaystyle{ x \in Int(A \backslash B)}\). Wtedy istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon}\), że \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \subset (A \backslash B)}\). Czyli \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \in A}\) oraz \(\displaystyle{ K(x, \epsilon) \cap B = \emptyset}\).

Weźmy teraz taki ciąg \(\displaystyle{ (x_{n}) \subset A}\), że \(\displaystyle{ x_{n} \rightarrow x}\). Wtedy prawie wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_{n})}\) należą do kuli \(\displaystyle{ K(x, \epsilon)}\), czyli p. wszystkie wyrazy \(\displaystyle{ (x_{n})}\) nie należą do \(\displaystyle{ B}\). Czyli \(\displaystyle{ x}\) nie jest punktem skupienia \(\displaystyle{ B}\), stąd \(\displaystyle{ x \not\in cl(B)}\). Czyli mamy, że \(\displaystyle{ x \in (Int(A) \backslash cl(B))}\).

2) Zawieranie w lewą stronę.
\(\displaystyle{ (Int(A)) \backslash cl(B) \subset Int(A \backslash B)}\)

Niech \(\displaystyle{ x \in (Int(A)) \backslash cl(B)}\), czyli:

i) \(\displaystyle{ x \in Int (A)}\)
ii) \(\displaystyle{ x \not\in cl(B)}\)

z i) istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon_{1}}\), że \(\displaystyle{ K(x,\epsilon_{1}) \subset A}\)
z ii) istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon_{2}}\), że \(\displaystyle{ B \cap K(x, \epsilon_{2}) = \emptyset}\)

Połóżmy \(\displaystyle{ max\lbrace \epsilon_{1}, \epsilon_{2} \rbrace = \epsilon_{0}}\)
Wtedy mamy, ze \(\displaystyle{ K(x, \epsilon_{0}) \subset A \backslash B}\), stąd \(\displaystyle{ x \in Int(A \backslash B)}\)

[tometomek91]

Moja propozycja (pewnie chodziło o tę tożsamosć:) ) :

\(\displaystyle{ RHS=Int(A) \backslash \overline{B}=\left( X \backslash \overline{X \backslash A} \right) \backslash \overline{B}=X \backslash \left( \overline{X \backslash A} \cup \overline{B} \right)=\ldots}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|}
\hline
\text{bo}\ ( C \backslash A) \backslash B = C \backslash (A \cup B)\\
\hline
\end{tabular}}\)


\(\displaystyle{ \ldots=X \backslash \left( \overline{(X \backslash A) \cup B} \right)=X \backslash \left( \overline{X \backslash (A \backslash B) \cup B \backslash X} \right)=\ldots}\)


\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|}
\hline
\text{bo}\ (C \backslash A) \cup B=C \backslash (A \backslash B) \cup (B \backslash C)\\
\hline
\end{tabular}}\)


\(\displaystyle{ \ldots=X \backslash \left( \overline{X \backslash (A \backslash B)} \cup \emptyset \right)=X \backslash \left( \overline{X \backslash (A \backslash B)} \right)=Int(A \backslash B)=LHS}\).

[porucznik]

Dziękuję za odpowiedź, jednak chciałbym aby ktoś sprawdził moje rozwiązanie. Chciałem zrobić to używając wyłącznie definicji wnętrza i domknięcia, a właściwie punktów skupienia.

Pozdrawiam.

[krzysztofg]

W 2) powinno być raczej \(\displaystyle{ min\left\{ \varepsilon _{1}, \varepsilon_{2} \right\}}\), bo biorąc ten większy może się okazać, że mamy niepuste przecięcie z \(\displaystyle{ B}\), lub nie zawrzemy się w \(\displaystyle{ A}\). Poza tym ta część wygląda ok.
Natomiast w 1) należałoby napisać że \(\displaystyle{ x}\) nie tylko nie jest punktem skupienia \(\displaystyle{ B}\), ale nie jest też jego elementem.
Ogólnie znacznie łatwiej i chyba przejrzyściej jest to pokazywać drogą przekształceń mnogościowych (tak jak to zrobił tometomek91).

[Krzysztof44]

Jeszcze inaczej:
\(\displaystyle{ Int(A \backslash B)=Int(A \cap B^c)=Int(A)\cap Int(B^c)=Int(A)\cap (Int(B^c)^c)^c=\\
Int(A)\cap (\overline{B})^c=Int(A)\backslash \overline{B}}\)

[Chromosom]

porucznik, Twoje rozwiązanie nie jest w tym przypadku poprawne ponieważ posługujesz się pojęciami związanymi z przestrzenią metryczną, o której w treści zadania nic nie wspomniano. W takiej sytuacji zasadne jest posługiwanie się definicjami tych pojęć w przestrzeni topologicznej. To jako uzupełnienie wszystkich rozważań w tym temacie. Poprawne dowody zostały już podane powyżej i polecam na nich się wzorować.