przestrzeń topologiczna

[kalik]

ale jeszcze domknięcie : \(\displaystyle{ \cl[-3,6]=\cl[3,8)=\mathbb{R}}\) ?

[szw1710]

Tak. Ale podaj mi swoją argumentację, czemu tak jest.

[kalik]

bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest największym zbiorem domkniętym w \(\displaystyle{ \tau}\) zawierającym zbiór A

[szw1710]

bo \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest największym zbiorem domkniętym w \(\displaystyle{ \tau}\) zawierającym zbiór A

Największym? Formalnie tak, ale argument niedobry. Domknięcie zbioru to ... zbiór domknięty zawierający ten zbiór. Uzupełnij kropki

[kalik]

najmniejszy?

[szw1710]

Ano właśnie: domknięcie zbioru to przekrój wszystkich zbiorów domkniętych zawierających ten zbiór, czyli najmniejszy zbiór domknięty.

Rodzina zbiorów domkniętych jest chyba łatwa do wyznaczenia? Już się nią posługiwałeś przed chwilą.

[kalik]

a co to jest rodzina wszystkich zbiorów domkniętych względem tej topologii?

[szw1710]

A co to jest zbiór domknięty?

[kalik]

zbiór którego dopełnienie jest zbiorem otwartym

[szw1710]

No to wyznacz dopełnienia wszystkich zbiorów otwartych, a uzyskasz wszystkie zbiory domknięte.

[kalik]

Cały zbiór liczb rzeczywistych jest tu otwarty.

więc dopełnienie to zbiór pusty?

[szw1710]

Tak jest. Zbiór pusty i cała przestrzeń zawsze są i domknięte, i otwarte.

[kalik]

ok dzięki. Mam teraz wykazać że ciąg \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{1}{n}}\) dąży do 0, 1 oraz -1 względem tej topologii

[szw1710]

Właśnie - pisałem, że przestrzeń nie jest nawet \(\displaystyle{ T_0}\) podając na dowód punkty 0 i 1. Zaadaptuj to jakoś. Element jest granicą ciągu, gdy każde jego otoczenie otwarte zawiera jego prawie wszystkie wyrazy. Więc każde otoczenie otwarte punktów \(\displaystyle{ -1,0,1}\) zawiera przedział \(\displaystyle{ (-2,2).}\) Wynika stąd, że w każdym otoczeniu otwartym tych punktów są nawet wszystkie wyrazy naszego ciągu. Tezę zadania można wzmocnić: ten ciąg jest zbieżny do każdej liczby z przedziału \(\displaystyle{ (-2,2)}\). Argumentacja identyczna. Po prostu tutaj wszystkie nietrywialne zbiory otwarte tworzą ciąg wstępujący.

Trochę czasu chcę poświęcić rodzinie. Przeczytaj to rozumowanie parę razy i postaraj się zrozumieć. Zobacz do podręczników, co to znaczy, że ciąg jest zbieżny w jakiejś topologii. Chociaż powyżej to napisałem.