Funkcja ciągła

[darek20]

Niech będzie dana metryka \(\displaystyle{ \varrho(f,g) = \sup_{x\in X} \{|f(x) - g(x)|\}}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie zbiorem zwartym w przestrzeni \(\displaystyle{ C([0,1])}\) z powyższą metryką.

Pokaż że funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\min\{x(t)+x(1-t): x\in K\},\ t\in[0,1]}\) jest ciągła.

[Spektralny]

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ F\colon [0,1]\times K \to \mathbb R}\) daną wzorem

• \(\displaystyle{ F(t,x) = x(t) + x(1-t).}\)

Zauważmy, że jest to funkcja ciągła. Pokażemy, że nasza funkcja

• \(\displaystyle{ f(t) = \min_{x\in K}F(t,x)}\)

jest również ciągła. Niech zatem \(\displaystyle{ (t_n)_{n=1}^\infty}\) będzie ciągiem punktów z \(\displaystyle{ [0,1]}\) zbieżnym do pewnego \(\displaystyle{ t}\). Ponieważ funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy, ustalmy takie \(\displaystyle{ x_n \in K}\), że \(\displaystyle{ f(t_n) = F(t_n, x_n)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ K}\) jest zwartym podzbiorem przestrzeni metrycznej, po ewentualnym przejściu do podciągu, możemy zagwarantować, że ciąg \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^\infty}\) jest zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ x\in K}\). Dla każdego \(\displaystyle{ y\in K}\) mamy jednak

• \(\displaystyle{ F(t_n, x_n)\leqslant F(t_n, y).}\)

Stąd,

• \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(t_n) = \lim_{n\to \infty}F(t_n, x_n) = F(t,x) \leqslant \lim_{n\to \infty} F(t_n, y) = F(t,y),}\)

gdzie ostatnia nierówność, zachodzi dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in K}\). Ostatecznie,

• \(\displaystyle{ F(t,x) = \inf_{y\in K} F(t,y) = \min_{y\in K} F(t,y) = f(t).}\)

Pokazuje to, że \(\displaystyle{ f(t_n)\to f(t)}\) gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\), co dowodzi ciągłości \(\displaystyle{ f}\).

Pokrewnym twierdzeniem związanym z tą tematyka jest

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Danskin%27s_theorem

, z którego wynika różniczkowalnośc funkcji \(\displaystyle{ f}\).

[Dasio11]

Ogólniej, jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest dowolną przestrzenią topologiczną, \(\displaystyle{ Y}\) jest niepustą przestrzenią zwartą i \(\displaystyle{ F : X \times Y \to \RR}\) jest ciągła, to funkcja \(\displaystyle{ f : X \to \RR}\) określona jako \(\displaystyle{ f(x) = \min_{y \in Y} F(x, y)}\) też jest ciągła.

Dowód: ustalmy \(\displaystyle{ x_0 \in X}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon > 0.}\) Ze zwartości istnieje takie \(\displaystyle{ y_0 \in Y,}\) że \(\displaystyle{ f(x_0) = F(x_0, y_0).}\)

(i) Istnieje otwarte otoczenie \(\displaystyle{ x_0 \in U \subseteq X,}\) takie że dla \(\displaystyle{ x \in U}\) mamy \(\displaystyle{ F(x, y_0) \le F(x_0, y_0) + \varepsilon.}\) Wtedy też \(\displaystyle{ f(x) \le f(x_0) + \varepsilon.}\) Zatem \(\displaystyle{ f}\) jest półciągła z góry.

(ii) Dla każdego \(\displaystyle{ y \in Y}\) istnieje otoczenie \(\displaystyle{ (x_0, y) \in U_y \times V_y \subseteq X \times Y,}\) gdzie \(\displaystyle{ U_y \subseteq X, V_y \subseteq Y}\) są otwarte, takie że dla \(\displaystyle{ (x', y') \in U_y \times V_y}\) mamy \(\displaystyle{ F(x, y) \ge F(x_0, y) - \varepsilon \ge f(x_0) - \varepsilon.}\) Rodzina \(\displaystyle{ \{ V_y : y \in Y \}}\) jest pokryciem \(\displaystyle{ Y.}\) Ze zwartości wybieramy skończone podpokrycie \(\displaystyle{ \{ V_{y_1}, \ldots, V_{y_n} \}}\) i niech

\(\displaystyle{ U = \bigcap_{i=1}^n U_{y_i}.}\)

Wtedy \(\displaystyle{ U \times Y \subseteq \bigcup_{i=1}^n U_{y_i} \times V_{y_i}.}\) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in U}\) i \(\displaystyle{ y \in Y}\) istnieje więc takie \(\displaystyle{ i \in \{ 1, \ldots, n \},}\) że \(\displaystyle{ (x, y) \in U_{y_i} \times V_{y_i},}\) więc wtedy \(\displaystyle{ F(x, y) \ge f(x_0) - \varepsilon.}\) Stąd dla każdego \(\displaystyle{ x \in U}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) \ge f(x_0) - \varepsilon}\) i oczywiście \(\displaystyle{ x_0 \in U,}\) a więc \(\displaystyle{ f}\) jest półciągła z dołu. \(\displaystyle{ \square}\)


P.S. Dowód w poprzednim poście pokazuje, że dla każdego ciągu \(\displaystyle{ t_n \to t}\) istnieje podciąg \(\displaystyle{ t_{n_k},}\) taki że \(\displaystyle{ f(t_{n_k}) \to f(t).}\) Jest to równoważne ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ t,}\) jednak wymaga to krótkiego dowodu, więc myślę, że warto ten niuans podkreślić.