Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 15:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
Znaleźć domknięcie i wnętrze podzbioru \(\displaystyle{ S=\left\{ \frac{n!}{n ^{n}}:n \in \mathbb{N}\right\} }\) przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (\mathbb{R},d)}\). Uogólnić wynik.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
pipol pisze:a jak jest okrelona metryka \(\displaystyle{ d}\)?
Zakładając że metryka standardowa,to jesli dobrze widzę 0 jest jedynym punktem skupienia tego zbioru, gdyż
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^n} =0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 15:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
Wobec tego domknięcie to \(\displaystyle{ S\cup\{0\}}\), a wnętrze puste.
W metryce euklidesowej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) każdy zbiór przeliczalny ma wnętrze puste, co wynika np. z twierdzenia Baire'a, chociaż takiej maszyny nie trzeba tu wytaczać Bo przecież niepustość wnętrza zbioru oznacza, że istnieje jakaś kula zawarta w tym zbiorze. Ale kula jest nieprzeliczalna, a zbiór był przeliczalny.
Możliwość uogólnienia: teza jest identyczna dla każdego ciągu zbieżnego. Niech \(\displaystyle{ S=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}}\) oraz \(\displaystyle{ a=\lim_{n\to\infty}a_n}\). Wtedy z powyższej uwagi mamy \(\displaystyle{ \text{Int}\,S=\varnothing}\), a \(\displaystyle{ \text{cl}\,S=S\cup\{a\}}\).
Inne uogólnienie drugiej tezy z domknięciem to wspomniana uwaga o przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).
W metryce euklidesowej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) każdy zbiór przeliczalny ma wnętrze puste, co wynika np. z twierdzenia Baire'a, chociaż takiej maszyny nie trzeba tu wytaczać Bo przecież niepustość wnętrza zbioru oznacza, że istnieje jakaś kula zawarta w tym zbiorze. Ale kula jest nieprzeliczalna, a zbiór był przeliczalny.
Możliwość uogólnienia: teza jest identyczna dla każdego ciągu zbieżnego. Niech \(\displaystyle{ S=\{a_n:n\in\mathbb{N}\}}\) oraz \(\displaystyle{ a=\lim_{n\to\infty}a_n}\). Wtedy z powyższej uwagi mamy \(\displaystyle{ \text{Int}\,S=\varnothing}\), a \(\displaystyle{ \text{cl}\,S=S\cup\{a\}}\).
Inne uogólnienie drugiej tezy z domknięciem to wspomniana uwaga o przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 15:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
Czyli jakbyśmy mieli znaleźć domknięcie i wnętrze podzbioru \(\displaystyle{ S=\left\{ \frac{5 ^{n} }{n!}:n \in \mathbb{N}\right\} }\) przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ (\mathbb{R},d)}\) to najpierw liczbę granicę \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{5 ^{n} }{n!} = 0}\) więc domknięcie zbiou \(\displaystyle{ clS=S \cup \{0\}}\) natomiast wnętrze hmmm... \(\displaystyle{ {Int}\,S=\varnothing}\)
Tzn z tym wnętrzem nie wiem czy dobrze rozumiem. Skąd ja wiem czy ten zbiór jest przeliczalny ?
Tzn z tym wnętrzem nie wiem czy dobrze rozumiem. Skąd ja wiem czy ten zbiór jest przeliczalny ?
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
Bo indeksowanie masz poprzez zbiór liczb naturalnych, który jest przeliczalny.juyinkaaa91 pisze:. Skąd ja wiem czy ten zbiór jest przeliczalny ?
Znaleźć Domknięcie i Wnętrze Zbioru
Ja bym dał jako uogólnienie: \(\displaystyle{ \overline{A}=A \cup A^d}\)