Matematyka.pl

W przestrzeni \(\displaystyle{ C\left( \left[ a,b \right] \right)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) , normą daną wzorem
\(\displaystyle{ \parallel f \parallel = \int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \mbox{d}t}\)
dla \(\displaystyle{ f \in C\left( \left[ a,b \right] \right)}\) podać przykład ciągu spełniającego warunek Cauchy'ego, który nie jest zbieżny

Nie chce mi się wzorów i szacowań wypisywać ale zbuduj sobie ciąg funkcji ciągłych, na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\) na przykład, \(\displaystyle{ n}\)-ta funkcja przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{2},1 \right]}\) , wartość \(\displaystyle{ 0}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2} \right]}\) , z wartości \(\displaystyle{ 0}\) na \(\displaystyle{ 1}\) przechodzisz funkcją liniową. Granica ciągu nie będzie elementem tej przestrzeni, bo nie będzie ciągła dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\),a warunek Cauchy'ego będzie spełniony. Tak w wielkim skrócie ale chyba idea jest jasna

niesety nie rozumie

CZy mógłby ktoś podać przykład takiej funkcji? W postaci analitycznej.