Zbiory i metryki

[kamil142]

Witam. Mam zaległości w wykładzie, a na jutro mam do zrobienia 5 zadanek, z których będę odpowiadać.

Oto treści:

1. Podać przykład dwóch zbiorów domkniętych i rozłącznych na prostej, których odległość jest zero.

2. Niech X będzie dowolnym zbiorem. podać przykład takiej metryki w której każdy podzbiór zbioru X jest zbiorem otwartym.

3. Wykazać, że zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych nie jest podzbiorem domkniętym płaszczyzny

4. Niech Y będzie podprzestrzenią przestrzeni metrycznej X. Wykazać, że każdy ciąg zbieżny w podprzestrzeni jest zbieżny w przestrzeni do tej samej granicy.

5. Udowodnić, że jeżeli przestrzeń \(\displaystyle{ X=U \cup V}\) gdzie \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\)są zbiorami otwartymi, to istnieją zbiory domknięte \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) takie, że:
\(\displaystyle{ A \subset U}\), \(\displaystyle{ B \subset V}\) i \(\displaystyle{ A \cup B=X}\)


Zadanka podobno są łatwe, lecz jak już mówiłem, mam zaległości w wykładzie, ze względu na pobyt w szpitalu Proszę o jakieś wyjaśnienia

Najbardziej zależy mi na pierwszych trzech zadaniach
Z góry serdecznie dziękuję.

[pipol]

1. \(\displaystyle{ A=\mathbb{N} , B=\{n+\frac{1}{n} :n\in \mathbb{N}\}}\)

[kamil142]

A mógłbyś jakoś zaargumentować odpowiedź ? Skąd wiadomo w tym wypadku, że odległość na prostej jest równa zero ?

[Jan Kraszewski]

Bo dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\) znajdziesz dwa elementy \(\displaystyle{ x\in A, y\in B}\) takie, że \(\displaystyle{ |x-y|<\varepsilon}\).

JK

[Ein]

2. metryka dyskretna: \(\displaystyle{ d(x,y)=1}\), gdy \(\displaystyle{ x\neq y}\)
3. ten podzbiór jest gęsty, czyli jego domknięcie to cała płaszczyzna
5. rozważ dopełnienia \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\)

[malgoro]

Mam zastrzeżenie do rozwiązania zadania nr 1.
Aby zbiory były rozłączne: \(\displaystyle{ B=\{ n + \frac{1}{n} : n=\{2,3,4... \}\}}\)

[Jan Kraszewski]

Mam zastrzeżenie do rozwiązania zadania nr 1.
Aby zbiory były rozłączne: \(\displaystyle{ B=\{ n + \frac{1}{n} : n=\{2,3,4... \}\}}\)

Słusznie.

JK

[kamil142]

3. ten podzbiór jest gęsty, czyli jego domknięcie to cała płaszczyzna

Faktycznie. A co by było w przypadku obu współrzędnych całkowitych? Czy także zbiór punktów płaszczyzny o obu współrzędnych całkowitych jest podzbiorem domkniętym płaszczyzny ?
Jeśli tak to dlaczego ?