Witam!
Problem wydaje się idiotyczny, ale co zrobić - wykładowca rządzi
Definicja zbioru domkniętego, na której należy się oprzeć - zawiera swoje punkty skupienia. Pokazać, że domknięcie zbioru (\(\displaystyle{ A \cup A'}\)) jest domknięte.
Wiem, że trzeba pokazać, że taki zbiór nie ma już nowych punktów skupienia poza A'. Problem w tym, że nie bardzo czaję jak
Dokładnie:P
Domknięcie zbioru to zbiór wraz z jego punktami skupienia (\(\displaystyle{ \overline{A}=A \cup A'}\), gdzie A jest naszym zbiorem, A' zbiorem jego punktów skupienia, a \(\displaystyle{ \overline{A}}\) właśnie domknięciem zbioru A). Trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest domknięty (innymi słowy, że \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=\overline{A}}\).
Ok, załóżmy więc, że istnieje taki punkt \(\displaystyle{ x}\), że każde jego otoczenie przecina \(\displaystyle{ A\cup A^{\prime}}\). Dowiodę, że wówczas każde jego otoczenie przecina \(\displaystyle{ A}\). Rozważmy zatem dowolne otoczenie \(\displaystyle{ x}\). Jeśli ma ono niepustą część wspólną z \(\displaystyle{ A}\), to koniec; w przeciwnym wypadku musi zawierać jakiś element (nazwijmy go \(\displaystyle{ y}\)) z \(\displaystyle{ A^{\prime}}\). Skoro jednak zawiera \(\displaystyle{ y}\), to również pewne jego otoczenie, które oczywiście ma niepuste przecięcie z \(\displaystyle{ A}\), co kończy dowód.
Czy tu x jest punktem skupienia \(\displaystyle{ \overline{A}}\)? Bo jeśli o to Ci chodzi, to musisz pokazać, że on istnieje. Założyłeś jego istnienie, czyli założyłeś domkniętość zbioru, którą trzeba pokazać... Chyba, że czegoś nie łapię
Przecież sprawdzam, że każdy punkt skupienia \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest w nim zawarty; nie muszę dowodzić istnienia takiego elementu. Jeśli nie istnieje żaden punkt skupienia \(\displaystyle{ \overline{A}}\), to nie ma żadnego problemu.
Definicję masz taką, że zbiór jest domknięty, jeśli zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Ma więc zachodzić implikacja: jeśli x jest punktem skupienia A, to wówczas x należy do A. Zatem w przypadku, gdy A nie posiada punktów skupienia (pochodna jest pusta), to powyższa implikacja jest prawdziwa, czyli A jest domknięty.
