czy przestrzeń X jest..

[roseraphina]

Niech \(\displaystyle{ A_{p}=[(x,y) \in R^2:x^2+y^2=p^2].}\) Czy przestrzeń \(\displaystyle{ X=([0] \times R) \cup \bigcup_{}^{} [A_{p}:p \in Q_{+}]}\) z topologią naturalną (topologia indukowana z topologii danej przez metrykę euklidesową) jest:
1. spójna
2. łukowo spójna
3. zwarta
4. zupełna

Według mnie 1.tak, 2.tak, 3.nie, 4.nie

Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności moich odpowiedzi i ewentualne wskazówki, gdzie szukać błędów.

[Wasilewski]

Wszystko w porządku.

[roseraphina]

Dziękuję : )

Mam jeszcze jedno, podobne zadanie:

Czy przedział \(\displaystyle{ [1,2008]}\) jest przestrzenią zwartą, jeśli rozważać w nim będziemy topologię indukowaną z \(\displaystyle{ R}\) z topologią:
a. dyskretną
b. banalną
c. naturalną
d. topologią wyróżnionego punktu 999
e. topologią daną następująco: A jest otwarty \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ A=zb. pusty}\) lub \(\displaystyle{ A=R}\) lub \(\displaystyle{ \vee \alpha : A=(- \alpha , \alpha )}\) ?

a.tak, b.nie(bo przedział jest śladem \(\displaystyle{ R}\), który nie jest zbiorem zwartym? Czy tak, bo przedział jest zbiorem domkniętym i ograniczonym?) c.tak, d. tak, bo \(\displaystyle{ 999 \in [1,2008]}\) e. chyba tak (intuicyjnie), ale nie potrafię wyjaśnić.

proszę o sprawdzenie i podpowiedzi