Matematyka.pl

Czy uogólnia się pojęcie metryki na funkcje z kwadratu przestrzeni w zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+ \cup \{0,\,\infty\}}\)?

Tzn. \(\displaystyle{ d:\,A^2 \rightarrow \mathbb{R}_+ \cup \{0,\,\infty\}}\) i spełnia aksjomaty metryki. Jeśli coś takiego się rozważa, to jak to się nazywa? Gdzie można o tym przeczytać? Może wy coś powiecie?

Wezmy sobie:
\(\displaystyle{ d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|}\)
Przy czym zalozmy, ze:
\(\displaystyle{ \arctan\infty=\pi/2}\)
Powinno spelniac wymogi definicji metryki.

Zaraz, zaraz. To może źle wyraziłem swoje pytanie, bo to nie jest odpowiedź na nie Jeszcze raz: chodzi mi o pojęcie szersze niż pojęcie metryki. To, co podałeś, to zwykła metryka (też myślę, że spełnia, nie chce mi się sprawdzać). Metryka jest funkcją w zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych. I Twoja to spełnia. Mi chodzi o zezwolenie na punkty oddalone od siebie o nieskończoność. To znaczy o zezwolenie, żeby wartość funkcji odległości przyjmowała wartość nieskończoność. Zwykłe pojęcie metryki na to nie zezwala.

Ta pytanie bylo dobre, tylko ja zle zrozumialem. Nie wiem czy jest jakis dzial. Ja nie slyszalem.

Można coś takiego rozważać, ale według mnie nie ma to zbytniego sensu, bo za każdym razem dodanie punktu \(\displaystyle{ \infty}\) generuje problemy, których topolodzy i tak już mają sporo . Zastanów się co by się psuło z nierównością trójkąta.

Nie bardzo rozumiem argument z problemami A jeśli chodzi o nierówność trójkąta, to mogłeś powiedzieć od razu, ale skoro nie to spróbuję rozwiązać zagadkę. Chodzi Ci o to, że nie bardzo można przeformułować ją na postać z odejmowaniem?
EDIT: Aha, no i nie mówiłem o punkcie nieskończoność tylko o punktach nieskończenie odległych. To drugie jest sporo szersze.