zbiór cantora

anka2010 · Post autor: **anka2010** » 10 cze 2010, o 23:00

Jak udowodnić że zbiór Cantora jest nigdziegęsty na [0,1]?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 10 cze 2010, o 23:33

Pokaż, że jest domknięty (to wynika wprost z konstrukcji) i że ma puste wnętrze, dokładniej, nie zawiera żadnego przedziału otwartego.

JK

Ein · Post autor: **Ein** » 10 cze 2010, o 23:37

Weź dowolny punkt \(\displaystyle{ x\in[0,1]\setminus C}\), gdzie \(\displaystyle{ C}\) to zbiór Cantora. Skoro \(\displaystyle{ x\not\in C}\), to znaczy, że istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ x\in U}\), który w czasie konstrukcji (podział na odcinki) zbioru Cantora został odrzucony. Zatem \(\displaystyle{ x}\) ma otoczenie otwarte, które kroi się pusto z \(\displaystyle{ C}\).

Szczegóły jak zawsze pozostawiam czytelnikowi