R^n przestrzenią Banacha
-
_anna_
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 18 paź 2006, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Andrychów
- Pomógł: 1 raz
R^n przestrzenią Banacha
Jak wykazać, że \(\displaystyle{ \RR^n}\) z normą maksimum ( \(\displaystyle{ ||x||=\max \{|x_i|:i\in\{1,...,n\}\}}\) ) jest przestrzenią Banacha? Z pokazaniem, że \(\displaystyle{ \RR^n}\) jest przestrzenią unormowaną nie mam problemów, ale nie wiem jak pokazać, że jest przestrzenią zupełną.
Ostatnio zmieniony 30 sie 2021, o 14:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Ptolemeusz
- Użytkownik
- Posty: 365
- Rejestracja: 11 lip 2004, o 18:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jarosław/Kraków
- Pomógł: 2 razy
R^n przestrzenią Banacha
niech \(\displaystyle{ (x_n)_{n=0}^\infty \subset \RR^n}\) bedzie ciągiem Cauchy'ego
[ \(\displaystyle{ x_m=(x_m^1,x_m^2,...,x_m^n)}\)]
mamy \(\displaystyle{ |x_m^i - x_k^i| \leq ||x_m^i - x_k^i||}\) wiec po współrzędnych są to ciągi Cauchy'ego, zatem nasz ciąg ma granice po współrzędnych... prosto można pokazać że to jest właśnie gr. (przy def. bedziesz brała max ze stałych spełniających def. dla współrzędnych...)
[ \(\displaystyle{ x_m=(x_m^1,x_m^2,...,x_m^n)}\)]
mamy \(\displaystyle{ |x_m^i - x_k^i| \leq ||x_m^i - x_k^i||}\) wiec po współrzędnych są to ciągi Cauchy'ego, zatem nasz ciąg ma granice po współrzędnych... prosto można pokazać że to jest właśnie gr. (przy def. bedziesz brała max ze stałych spełniających def. dla współrzędnych...)