podać przykłady homeomorfizmu

kullcia · Post autor: **kullcia** » 25 lut 2010, o 09:51

witam:)
Mam problem z zadaniem o treści: podać przykłady homeomorfizmu. Próbowałam zrobić zadania, podam mój schemat rozwiązań, proszę o poprawienie ewentualnych błędów i rozwianie moich wątpliwości:)
przy przykładzie \(\displaystyle{ (0,1) \rightarrow (2,4)}\)
a) najpierw zaznaczyłam w układnie współrzędnych punkty \(\displaystyle{ (0,2)}\) i \(\displaystyle{ (1,4)}\). Czy byłoby różnicą zaznaczenie punktów \(\displaystyle{ (0,4)}\) i \(\displaystyle{ (1,2)}\)? to znaczy czy miałoby to wpływ na wynik końcowy?
b)wyznaczyłam funkcję do której należą te punkty
c)udowodniłam, że dana funkcja jest bijekcją
d) wyznaczyłam funkcję odwrotną
e) obie funkcje są funkcjami liniowymi, więc są ciągłe.

na tym zakończyłam to zadanie... czy gdzieś popełniłam błąd?

kolejny problem... treść zadania to również podać przykłady homeomorfizmu. co mam zrobić gdy jedne z końców są domknięte tzn np gdy
\(\displaystyle{ f: (1,2 ] \rightarrow [ 3,6)}\) ??
a co zrobić, gdy tylko jeden z końców jest domknięty \(\displaystyle{ (1,2)\rightarrow [ 1,2)}\)
lub inaczej... kiedy przedziały nie są homeomorficzne? w jakich przypadkach?

ostatnie już pytanie... jak zabrać się za sprawdzenie homeomorfizmu gdy \(\displaystyle{ A=(2,3) \cup (4,5)}\) i \(\displaystyle{ B=(1,3) \cup (6,8)}\). proszę o rozwiązanie (w szczególności ostatniego zadania) abym miała się czym sugerować przy dalszych przykładach, które mam do rozwiązania. będzie niezmiernie wdzięczna!
pozdrawiam

Zordon · Post autor: **Zordon** » 25 lut 2010, o 10:09

Dobrze jest zaznajomić się z intuicyjną definicą homeomorfizmu, wtedy będzie dużo łatwiej:

a) nie wiem o co chodzi, dobry homeomorfizm to:
\(\displaystyle{ f:(0,1) \rightarrow (2,4)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=2x+2}\)

Dalej: \(\displaystyle{ f: (1,2 ] \rightarrow [ 3,6)}\)
widać, że trzeba przekręcić przedział, więc można np. tak: \(\displaystyle{ f(x)=-3x+9}\)

Homeomorficzne są tylko przedziały tego samego typu, tzn. albo oba są jednostronnie domknięte, albo obustronnie domknięte, albo obustronnie otwarte.

kullcia · Post autor: **kullcia** » 25 lut 2010, o 10:19

ok, rozumiem czyli w takim razie \(\displaystyle{ (1,2) \rightarrow [1,2)}\) w ogóle nie jest homeomorfizmem.. a czy można to w jakiś sposób udowodnić? czy to ma jakiś związek ze spójnością? czy po prostu wystarczy jeśli napiszę że 'Homeomorficzne są tylko przedziały tego samego typu, tzn. albo oba są jednostronnie domknięte, albo obustronnie domknięte, albo obustronnie otwarte'?
a co w ostatnim przypadku z sumami? czy to będzie homeomorfizm? jeśli tak to jak będzie wyglądać funkcja?

Zordon · Post autor: **Zordon** » 25 lut 2010, o 10:38

Będzie homeomorfizm przy sumach, ale nie chce mi się go pisać, zresztą intuicyjnie to powinno być jasne.
Pomiędzy \(\displaystyle{ (1,2)}\), a \(\displaystyle{ [1,2)}\) nie ma homeomorfizmu, ponieważ z tego drugiego przedziału potrafimy usunąć punkt nie powodując rozspojenia zbioru, w tym pierwszym jest to niemożliwe.

kullcia · Post autor: **kullcia** » 25 lut 2010, o 10:47

dokładnie o to mi chodziło, dziekuję bardzo:) to biorę się za rozpisywanie sum.. może mi sie uda:)

-- 26 lut 2010, o 20:34 --

rozwiązałam te zadania jeszcze raz i nasunęły mi się kolejne pytania...
czy homeomorfizmem w \(\displaystyle{ (0,1) \rightarrow (2,4)}\) może być \(\displaystyle{ f(x)=-2x+4}\)?

jeśli tak to w jaki sposób mogę udowodnić że funkcja odwrotna \(\displaystyle{ x=\frac{-y+4}{3}}\) jest ciągła?

w przykładzie ze sumami czy chodziło o 'połączenie' ze sobą \(\displaystyle{ (2,3)}\) i \(\displaystyle{ (1,3)}\) oraz \(\displaystyle{ (4,5)}\) i \(\displaystyle{ (6,8)}\) po czym otrzymałam sumę dwóch funkcji: \(\displaystyle{ l: y=2a-3}\) i \(\displaystyle{ k: y=2a+2}\) przy czym wiadomo że suma dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą... ale jak w tym przypadku wyznaczyć funkcję odwrotną??

jeszcze raz bardzo bardzo proszę o pomoc...

Zordon · Post autor: **Zordon** » 26 lut 2010, o 22:25

To nie jest suma dwóch funkcji, tylko funkcja definiowana warunkowo. Napisz najlepiej porządnie jej definicję.

Co do ciągłości \(\displaystyle{ x=\frac{-y+4}{3}}\), to jest to funkcja liniowa...

kullcia pisze: czy homeomorfizmem w \(\displaystyle{ (0,1) \rightarrow (2,4)}\) może być \(\displaystyle{ f(x)=-2x+4}\)?

oczywiście, bardzo dobry homeomeorfizm