czy jest topologią?

[zulu25]

1. \(\displaystyle{ X=R}\), sprawdzic czy rodzina \(\displaystyle{ \tau=\{(-a,a): a>0\}\cup \{\emptyset,R\}}\) jest topologia.
a) \(\displaystyle{ \emptyset}\) i \(\displaystyle{ R\in\tau}\) (wprost z def.)
b) Niech \(\displaystyle{ A\in\tau}\) i \(\displaystyle{ B\in\tau}\)
- jesli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\) lub \(\displaystyle{ B=\emptyset}\) wtedy \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset\in\tau}\)
- jesli \(\displaystyle{ A=R}\) lub \(\displaystyle{ B=R}\) wtedy odpowiednio \(\displaystyle{ A\cap B=B\in\tau}\) lub \(\displaystyle{ A\cap B=A\in\tau}\)
- niech \(\displaystyle{ a,b>0}\) i \(\displaystyle{ A=(-a,a), B=(-b,b)}\) wtedy \(\displaystyle{ A\cap B=(-min\{a,b\},min\{a,b\})\in\tau}\) bo \(\displaystyle{ min\{a,b\}>0}\)
Mam problem z 3 warunkiem, jak uzasadnic ze jest spelniony badz nie?

2.\(\displaystyle{ X=R}\), sprawdzic czy rodzina \(\displaystyle{ \tau=\{[-a,a]: a>0\}\cup \{\emptyset,R\}}\) jest topologia.
Tu ten sam problem, chodzi o 3 warunek z suma. Bede wdzieczny:)

[rsasquatch]

1)
Nasza rodzina zbiorów \(\displaystyle{ A=(A_n)_{n=0}^{ \infty }}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ R \in A}\) to koniec dowodu
Załóżmy że \(\displaystyle{ R \notin A}\)
Wywalmy teraz z naszego A wszystkie zbiory puste to suma pozostanie nadal taka sama i
da się zapisać \(\displaystyle{ B=\bigcup_{n=0}^{ \infty }A_{n}= \bigcup_{k=0}^{ \infty }A_{n_k}=\bigcup_{k=0}^{ \infty }(-a_{n_k},a_{n_k})}\)
Możemy teraz przyjąć, że istnieje \(\displaystyle{ a=sup(a_{n_k})}\), gdyż jeżeli by nie istniało to \(\displaystyle{ B=R}\)
co kończy dowód.
Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ B=(-a,a)}\) gdyż każdy \(\displaystyle{ a_{n_k} \le a \Rightarrow B \subset (-a,a)}\)
, a z tego, że istnieje podciąg zbieżny do a to \(\displaystyle{ (-a,a) \subset B}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow B \in \tau}\)
2)Wydaje mi się, że drugi zb. nie jest topologią gdyż
przeliczalna suma zb. domkniętych nie musi być domknięta np. \(\displaystyle{ B= \bigcup_{n=0}^{ \infty }[-1+ \frac{1}{n},1- \frac{1}{n}]=(-1,1)}\)

[zulu25]

2)Wydaje mi się, że drugi zb. nie jest topologią gdyż
przeliczalna suma zb. domkniętych nie musi być domknięta np. \(\displaystyle{ B= \bigcup_{n=0}^{ \infty }[-1+ \frac{1}{n},1- \frac{1}{n}]=(-1,1)}\)

Wielkie dzieki za 1) co do 2) mnie nie przekonuje...choc moge sie mylic (przy sumie mnogosciowej powinno byc od n=1?) bo:
\(\displaystyle{ B= \bigcup_{n=1}^{ \infty }[-1+ \frac{1}{n},1- \frac{1}{n}]=[0,0]\cup[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \cup[-\frac{2}{3},\frac{2}{3}] \cup \ldots \cup [-1,1] = [-1,1]}\)

A jak wyznaczyc rodzine domknieta w 1) ?

[rsasquatch]

Co do drugiego jestem prawie pewny, że dobrze napisałem gdyż \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } [-1+\frac{1}{n} ,1-\frac{1}{n}]=(-1,1)}\) a nie [-1,1]
A rodzina zb. domkniętych będzie chyba taka \(\displaystyle{ au={(- infty ,-a] cup [a, infty ),a>0} cup { emptyset,R}}\)

[zulu25]

Chyba masz racje, jeszcze raz dzieki wielkie!