Ciągłość kombinacji przekształceń

Moofka · Post autor: **Moofka** » 24 kwie 2006, o 17:10

Niech przestrzeń \(\displaystyle{ X = A\cup B}\) będzie sumą dwu podzbiorów domkniętych. Jeśli\(\displaystyle{ f : A Y}\) i \(\displaystyle{ g : B Y}\) są przekształceniami ciągłymi takimi, że \(\displaystyle{ f | A \cap B = g | A \cap B}\), to przekształcenie \(\displaystyle{ f \cup g : X Y}\) - określone jako f na A, a jako g na B - jest dobrze określone i ciągłe. Nazywamy je sumą bądź kombinacją przekształceń f i g.

Proooszę!!!

mu · Post autor: mu » 29 kwie 2006, o 17:57

Dobre określenie tego odwzorowania wynika bezpośrednio z warunku \(\displaystyle{ f|_{A \cap B} = g|_{A \cap B}}\). Zapewnia on prawostronną jednoznaczność relacji \(\displaystyle{ (A \cup B) Y \supset \mathcal{R} = \{ (x,f(x)) : x A \} \cup \{ (x,g(x)) : x B \}}\).
Jak chodzi o ciągłość: dosyć oczywistym jest fakt, że zawężenie funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą. Wiemy też, że zachodzi \(\displaystyle{ (f \cup g)^{-1} (U) = f^{-1} (U) \cup g^{-1} (U)}\). Weźmy \(\displaystyle{ U \sigma_Y}\). Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) wynika, ze \(\displaystyle{ f^{-1} (U) \sigma_A}\) oraz \(\displaystyle{ g^{-1} (U) \sigma_B}\). Jako, że suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, mamy, ze \(\displaystyle{ f^{-1} (U) \cup g^{-1} (U) = (f \cup g)^{-1} (U) \sigma_{A \cup B}}\), co było nam potrzebne.

Post autor: **Jan Kraszewski** » 5 maja 2006, o 22:35

mu pisze:Z ciągłości \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) wynika, ze \(\displaystyle{ f^{-1} (U) \sigma_A}\) oraz \(\displaystyle{ g^{-1} (U) \sigma_B}\). Jako, że suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, mamy, ze \(\displaystyle{ f^{-1} (U) \cup g^{-1} (U) = (f \cup g)^{-1} (U) \sigma_{A \cup B}}\), co było nam potrzebne.

Dla porządku trzeba jeszcze dodać, że domkniety podzbiór zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest też domkniętym podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ A\cup B}\), co wynika z domkniętości zbioru \(\displaystyle{ A}\) (i to samo dla domkniętego podzbioru zbioru \(\displaystyle{ B}\)).
JK

mu · Post autor: mu » 5 maja 2006, o 23:51

Przecież to jest tak trywialna obserwacja, że w ogole nie warto o niej wspominać...

Post autor: **Jan Kraszewski** » 6 maja 2006, o 13:39

Jak ktoś wie, że trzeba ją uczynić, to jest trywialna. Jak ktoś nie czuje topologii, to może nawet nie zauważyć, że rozważamy domkniętość w dwóch różnych przestrzeniach. W tym przypadku mu to nie zaszkodzi, ale w innym - kto wie...
A poza tym zawsze warto wiedzieć, w którym miejscu korzystamy z założeń.
JK