przestrzenie homeomorficzne

[uamka]

Do wszystkich ludzi dobrej woli!!! Pilnie poszukiwane rozwiązania poniższych zadań.Za wszelką pomoc będę dozgonnie wdzięczna.
Zad.1.Wykaż. że topologia produktowa na \(\displaystyle{ X\times Y}\) jest najsłabszą topologią, dla której \(\displaystyle{ \Pi_x}\)i \(\displaystyle{ \Pi_y}\) są ciągłe.

Zad.2. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie \(\displaystyle{ G}\)-przestrzenią i niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie \(\displaystyle{ H}\)- przestrzenią. Udowodnij, że przestrzenie \(\displaystyle{ (X\times Y)/(G\times H)}\) i \(\displaystyle{ (X/G)\times (Y/H)}\) są homeomorficzne.

Zad.3.Dla \(\displaystyle{ (n,m) \in R^2}\) i \(\displaystyle{ (x,y) \in R^2}\) określamy:
\(\displaystyle{ (n,m) \cdot (x,y) = (n+x,m+y)}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ R^2}\) staje się w ten sposób \(\displaystyle{ Z \times Z}\)- przestrzenią. Udowodnij, że \(\displaystyle{ R^2/ Z \times Z}\) jest homeomorficzna z \(\displaystyle{ S^1 \times S^1}\).

Zad.4.Udowodnij,że torus jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ S^1 \times S^1}\).

[liu]

Zad.4 - piszac torus masz na mysli jego przedstawienie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)? W takim razie zastanow sie jak taki torus powstaje (przez obrot okregu), wtedy bez problemu ,,zobaczysz" ten homeomorfizm