Przestrzenie metryczne

[Kris-0]

Do rzeczy.
Nie wiem jak mam rozumieć zapis \(\displaystyle{ d(x,y)=\max_{1\leq k \leq n}|x_k-y_k|}\) i czym to się dokładnie różni od metryki \(\displaystyle{ \rho (x,y)=\sum_{k=1}^{n}|x_k-y_k|}\)?

[Rogal]

Wszystkim? Ustal sobie n=2 i policz tymi dwoma metrykami odległość punktu (1,3) od (-1,2) na płaszczyźnie, to zobaczysz różnicę.

[Zordon]

Na płaszczyźnie widać to bardzo dobrze, ta pierwsza jest nazywana metryką maximum, a ta druga to odległość taksówkarska (metryka manhattan, lub jeszcze inne nazwy). Można spojrzeć na wikipedii.

[Kris-0]

W metryce maksimum chyba nie policzę, bo pisałem, że nie wiem jak interpretować zapis. Pierwszy raz spotykam się z indeksami pod max.
Jeśli \(\displaystyle{ \max_{1\leq k\leq n}|x_k-y_k|=\max\{|x_1-y_1|, |x_2-y_2|,\ldots , |x_n-y_n|\}}\) i jeśli dajmy na to \(\displaystyle{ |x_1-y_1|}\) jest największy ze wszystkich odcinków, to tyle wynosi ta odległość w metryce maksimum.
Czyli \(\displaystyle{ \rho ((1,3);(-1,2))=3}\) a \(\displaystyle{ d((1,3);(-1,2))=\max\{|1-(-1)|, |3-2|\}=2}\)?

Pytałem głównie dlatego, że odległości w obu metrykach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) wyglądają tutaj [ ... ci%C4%85gi ] tak samo.

[Zordon]

Wcale nie wyglądają tak samo, przeczytaj to uważnie Nawet ładne rysunki kul są.

[Kris-0]

Chyba mi nie powiesz, ze rysunek "Odległość maximowa w R2" różni się czymś od rysunku "Odległość taksówkowa w R2"?

[Zordon]

Oj rzeczywiście, tam jest błąd, powinien być narysowany ten dłuższy odcinek tylko. Ale kule są już dobrze.

[Kris-0]

No właśnie o to mi chodziło W m. maximum powinna być tylko największa odległość.
Dzięki za pomoc.