Mam problem z tym zadaniem, nie mam pojecia jak sie do tego zabrać
Niech\(\displaystyle{ d: X imes X -> [0, )}\) będzie metryką w pewnym zbiorze niepustym X. Dla ustalonego punktu\(\displaystyle{ X_{0}\in X}\) i liczby\(\displaystyle{ r q 0}\) definiujemy sfere: \(\displaystyle{ S(x_{0},r) = \{ x\in X : d(x,x_{0})=r\}}\).
Wykazać ze sfera S jest podzbiorem domkniętym przestrzeni metrycznej (X,d).
Wykaze, ze dopelnienie sfery \(\displaystyle{ X \setminus S = \{ x\in X: d(x,x_1) R\}}\) (zakladam, ze ma srodek w punkcie \(\displaystyle{ x_1}\) i promien \(\displaystyle{ R}\)) jest zbiorem otwartym.
Z definicji \(\displaystyle{ X\setminus S}\) jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego \(\displaystyle{ x_0\in X\setminus S}\) istnieje taka \(\displaystyle{ K(x_0,r)}\), ze \(\displaystyle{ K(x_0,r) X\setminus S}\).
Mamy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ d(x_1,x_0) < R}\)
Wykaze, ze \(\displaystyle{ K(x_0, R - d(x_1,x_0)) X\setminus S}\).
Mamy: \(\displaystyle{ x\in K(x_0, R - d(x_1,x_0)) d(x,x_0) < R - d(x_1,x_0)}\)
Dalej z nierownosci trojkata dla metryki: \(\displaystyle{ d(x,x_1) q d(x,x_0) + d(x_1,x_0) < R - d(x_1,x_0) + d(x_1,x_0) = R}\)
A wiec jesli x nalezy do tamtej kuli, to \(\displaystyle{ d(x,x_1) < R}\), wiec \(\displaystyle{ x\in X\setminus S}\).
2. \(\displaystyle{ d(x_1,x_0) > R}\)
Analogicznie mozesz wykazac, ze kula \(\displaystyle{ K(x_0, d(x_1,x_0)-R)}\) pasuje do definicji.
Jak dojsc do tego, ze to maja byc akurat takie kule?
Narysuj to sobie na prostej przestrzeni, np. prostej albo plaszczyznie ze zwykla metryka euklidesowa. Wtedy bedzie widac:)
