2 zadanka: o dwóch metrykach i o dwóch topologiach

[stworzonko20]

Witam mam niestety taki przedmiot jak topologia i nie radze sobie ze wszystkimi zadankami, wiec prosze o maludnką pomoc:)

zadanko 1
\(\displaystyle{ \rho_1\leq \rho_2}\) metryka na X; dla \(\displaystyle{ A\subset X}\) porównać
\(\displaystyle{ int_1A\qquad int_2A}\)
\(\displaystyle{ cl_1A\qquad cl_2A}\)

zadanko 2
\(\displaystyle{ X}\) -zbiór \(\displaystyle{ T_1,T_2- topologie\quad na\quad X; T_1\leq T_2; A\subset X}\) porównać \(\displaystyle{ int_1A\qquad int_2A}\) oraz\(\displaystyle{ cl_1A\qquad cl_2A}\)
Z góry dzieki

[Sir George]

Witam,

ad zad.1.
Pokaż, że
\(\displaystyle{ K_2(x,\epsilon)\subset K_1(x,\epsilon)}\),
gdzie \(\displaystyle{ K_i}\) oznacza kulę otwartą w i-tej topologii
(w drugą stronę już tak być nie musi, przykład:
X=[0,1], ρ1 - "zwykła" odległość, ρ2 - odległość "zero-jedynkowa",
tzn. ρ(x,y)=1, gdy x≠y).
Dostaniesz stąd, że topologie generowane przez te metryki spełniają zależność z zad.2.
(tzn.
\(\displaystyle{ T_1\le T_2}\) )

ad zad.2.
W topologii \(\displaystyle{ T_2}\) jest więcej zbiorów otwartych, niż w topologii \(\displaystyle{ T_1}\).
Korzystając z równości
\(\displaystyle{ \mbox{int}A= \bigcup_{\ \ G\subset A\\G\ \mbox{otwarty}} G}\)
można pokazać odpowiednie zawierania (dla domknięć z wiadomego powodu będzie na odwrót).

Mam nadzieję, że szczegóły sobie już sama dopracujesz.

PS: Studiujesz na UŚu?