zadania z topologii na kolosa

[Sleeper]

Witam!
Mam problem z kilkoma zadaniami z topologii z ktorych niestety bedzie kolokwium zaliczeniowe.Niestety topologia nie jest moja mocna strona wiec prosilbym o pomoc!
Oto te zadania:
1) d1 jest dowolna metryka
mamy zdefiniowana metryke d2 := d1/(1+d1)

[Cyber Stefan]

1) d1 jest dowolna metryka
mamy zdefiniowana metryke d2 := d1/(1+d1)

A oto moje rozwiazanie tego problemu. Nie znam sie jeszcze za bardzo na TeXie wiec bedzie bez znaczkow matematycznych (oprocz tych, ktore widze tu obok). Uczyc sie teraz tego nie mam czasu. Jak sie moderacji nudzi to moze smialo pozmieniac...

Rozwiazanie.
Korzystam z rownowaznej definicji, mianowicie dwie metryki sa rownowazne wtedy i tylko wtedy, gdy dla kazdego ciagu xn zbieznego do x w sensie metryki d1, ciag ten jest zbiezny do x w sensie metryki d2. Dowod rownowaznosci tych warunkow nie przedstawia trudnosci, ale jakby co to pisz, a postaram sie go przedstawic.
Niech wiec dany bedzie ciag xn zbiezny do x w sensie metryki d1 czyli mamy z definicji zbieznosci w przestrzeniach metrycznych:
Dla kazdego ε >0 istnieje takie n0, ze dla kazdego n>n0 zachodzi d1(xn,x)x w sensie metryki d2.
Mamy udowodnic, ze xn ->x takze w sensie metryky d1
Z definicji metryki d2 mamy, ze:
d2(xn,x) = d1(xn,x)/(1 + d1(xn,x))
czyli po odpowiednich przeksztalceniach otrzymujemy:
d1(xn,x) = d2(xn,x)/(1 - d2(xn,x)) co mozna uczynic, gdyz d2(xn,x)0, istnieje takie δ >0 takie, ze Kd2(x0, δ) 0, istnieje takie η>0 takie, ze Kd1(x0,η) < Kd2(x0, ε) (**)

gdzie Kd1(x0,η) oznacza kule w sensie metryki d1 o srodku w punkcie x0 i promieniu η oraz '<' oznacza relacje inkluzji.
Aby udowodnic (*) wystarczy przyjac:
δ :=ε /(1+ ε )
W (**) przyjmujemy:
η :=ε /(1- ε )
Co o ile sie nie pomylilme (byla 3 - 4 w nocy jak to robilem) dowodzi odpowiednich inkluzji. W kazdym razie w ten sposob sie to robi.

Co do pozostalych zadan to nie mialem czasu sie nad nimi zastanawiac a poza tym takimi rzeczami za bardzi sie nie zajmowalismy... Ale napisz cos wiecej o tych zadaniach a postaram sie pokombinowac... chodzi mi glownie o zadanie 3 - co to wogole za przestrzen?