Własności zbiorów zwartych

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
akil2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 gru 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Własności zbiorów zwartych

Post autor: akil2001 » 13 sty 2022, o 22:10

1.czy jesli A,B zwarty to czy z tego wynika ze ich suma jest zbiorem zwartym.
2.Czy jesli A zwarty to czy pochodna zbioru jest takze zbiorem zwartym.
3.czy jesli A zwarty to czy jego brzeg też bedzie zwarty
odpowiedz uzasadnij.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: matmatmm » 13 sty 2022, o 22:44

Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3519
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1218 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: Janusz Tracz » 13 sty 2022, o 22:55

Ustalmy dowolne pokrycie \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\). Rozważmy pokrycia \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) odpowiednio

\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)

ze zwartości z tych pokryć można wybrać podpokrycia skończone

\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I_{A}\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I_{B}\right\}}\)

tu zaznaczam, że zbiory indeksów są skończone \(\displaystyle{ \left| I_{A}\right|,\left| I_B\right|< \infty }\). Tak na oko \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I_A \text{ lub }i\in I_B\right\} }\) powinien być skończonym pokryciem \(\displaystyle{ A \cup B}\).

PS Uważam, że
  • nawet \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) można potraktować jako pokrycie \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i nie trzeba nic przekrawać. Wyciągamy z \(\displaystyle{ \left\{ C_i:i\in I\right\} }\) podpokrycie skończone zbioru \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\) i sumujemy,
  • zadanie jest niezależne od topologii.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: matmatmm » 13 sty 2022, o 23:02

Janusz Tracz, przecież zwartość działa tylko dla pokryć otwartych. Te pokrycia
Janusz Tracz pisze:
13 sty 2022, o 22:55
\(\displaystyle{ \left\{ C_i \cap A: i\in I\right\} \quad \& \quad \left\{ C_i \cap B: i\in I\right\}}\)
otwarte być nie muszą.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3519
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1218 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: Janusz Tracz » 13 sty 2022, o 23:05

W \(\displaystyle{ A}\) i w \(\displaystyle{ B}\) są (relatywnie) otwarte. A to tam stosujemy zwartość i wyciagnięcie podpokryć skończonych.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2171
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 329 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: matmatmm » 13 sty 2022, o 23:10

Racja, zwracam honor.

akil2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 9 gru 2021, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 5 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: akil2001 » 13 sty 2022, o 23:28

matmatmm pisze:
13 sty 2022, o 22:44
Jakiś kontekst do tego zadania? Czy zbiory te są podzbiorami jakiejś ustalonej nadprzestrzeni? Czy twoja definicja zbioru zwartego wymaga, żeby topologia była Hausdorffa?
tak, wymaga żeby była Hausdorfa.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3519
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 1218 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: Janusz Tracz » 13 sty 2022, o 23:55

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty w \(\displaystyle{ T_2}\) to
  • \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty zatem \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \setminus \text{int}\, A =A \setminus \text{int}\, A \subset A}\),
  • zbiór \(\displaystyle{ \text{bd}\,A=\text{cl}\,A \cap \text{cl}\,A^{\mathrm{c}}}\) więc jest domknięty,
  • domknięte podzbiory przestrzeni zwartej są zwarte.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20214
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 3431 razy

Re: Własności zbiorów zwartych

Post autor: a4karo » 14 sty 2022, o 00:14

Koledzy, dawajcie wskazówki, a nie gotowce.

ODPOWIEDZ