Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: elos1534 »

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ \RR}\), \(\displaystyle{ A =\left\{1+ \frac{(-1) ^{n} }{n} \right\}\cup\left\{1\right\}}\). Zbadać czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zwarty, czy jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\)? Odpowiedzi uzasadnić.

No więc wykreśliłem sobie ten zbiór i przyjmuje one wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1,5}\). W takim przypadku wydaje mi się on domknięty i ograniczony, więc można wybrać popokrycie, które go pokryje, więc zbiór ten jest zwarty. Czy moje rozumowanie jest dobre?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2021, o 19:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: Jan Kraszewski »

elos1534 pisze: 6 gru 2021, o 19:20 Dany jest zbiór \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ \RR}\), \(\displaystyle{ A =\left\{1+ \frac{(-1) ^{n} }{n} \right\}\cup\left\{1\right\}}\).
Rozumiem, że masz na myśli zbiór \(\displaystyle{ A =\left\{1+ \frac{(-1) ^{n} }{n} :n\in\NN \right\}\cup\left\{1\right\}}\).
elos1534 pisze: 6 gru 2021, o 19:20 No więc wykreśliłem sobie ten zbiór i przyjmuje one wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1,5}\). W takim przypadku wydaje mi się on domknięty i ograniczony,
Ograniczony - OK. Ale dlaczego domknięty? Może jakieś uzasadnienie?
elos1534 pisze: 6 gru 2021, o 19:20więc można wybrać popokrycie, które go pokryje, więc zbiór ten jest zwarty.
Co można zrobić (i dlaczego...)?

JK
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: elos1534 »

Wydaje mi się, że jest domknięty, gdyż elementy tego zbioru dążą do 1, która też do tego zbioru należy.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: Jan Kraszewski »

elos1534 pisze: 6 gru 2021, o 20:21 Wydaje mi się, że jest domknięty, gdyż elementy tego zbioru dążą do 1, która też do tego zbioru należy.
To może być dobra intuicja, ale to jeszcze nie formalne uzasadnienie.

JK
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: elos1534 »

Mam myśl, że 1 jest punktem skupienia, gdyż w dowolnym otoczeniu znajduje się nieskończenie wiele wartości ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Tylko, że z definicji zbioru domkniętego, musi on zawierać wszystkiego punkty skupienia, a wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 0}\), które do tego zbioru należy nim nie jest, gdyż dla wartości \(\displaystyle{ r < \frac23}\) nie ma nieskończenie wiele wartości. W takim razie ten zbiór nie jest domknięty?
Ostatnio zmieniony 6 gru 2021, o 21:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: Jan Kraszewski »

elos1534 pisze: 6 gru 2021, o 21:07 Tylko, że z definicji zbioru domkniętego, musi on zawierać wszystkiego punkty skupienia, a wydaje mi się, że \(\displaystyle{ 0}\), które do tego zbioru należy nim nie jest,
No i co z tego? Mylisz zawierania. Ten warunek nie mówi, że wszystkie punkty zbioru mają być jego punktami skupienia, tylko że wszystkie punkty skupienia zbioru muszą do niego należeć.

Istotnie, \(\displaystyle{ 1}\) jest punktem skupienia tego zbioru i do niego należy, dla pełności argumentu brakuje nam jeszcze spostrzeżenia (z uzasadnieniem), że ten zbiór nie ma innych punktów skupienia.

JK
elos1534
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 wrz 2013, o 20:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: elos1534 »

Jan Kraszewski pisze: 6 gru 2021, o 22:00
(...) dla pełności argumentu brakuje nam jeszcze spostrzeżenia (z uzasadnieniem), że ten zbiór nie ma innych punktów skupienia.
I wtedy to, z tym co wyżej jest napisane wystarczy by stwierdzić, że jest zwarty?

A jak zabrać się za drugą część pytania, czy jest otwarty w \(\displaystyle{ \RR}\)?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: Janusz Tracz »

elos1534 pisze: 6 gru 2021, o 22:32
Jan Kraszewski pisze: 6 gru 2021, o 22:00
(...) dla pełności argumentu brakuje nam jeszcze spostrzeżenia (z uzasadnieniem), że ten zbiór nie ma innych punktów skupienia.
I wtedy to, z tym co wyżej jest napisane wystarczy by stwierdzić, że jest zwarty?
To wystarczy do domkniętości o ile wiesz, że \(\displaystyle{ \text{cl}\, X= X \cup \left\{ \text{punkty skupienia}\,(X) \right\} }\) bo formalnie to pokazałeś, że \(\displaystyle{ A \cup \left\{ \text{punkty skupienia}\,(A) \right\} =A}\) zatem \(\displaystyle{ \cl \, A=A}\) zatem domknięcie zbioru to nasz zbiór zatem \(\displaystyle{ A}\) jest domknięty. Do zwartość jeszcze czegoś brakuje chyba, że się powołasz na równoważność zwartości z domkniętością i organicznością (w \(\displaystyle{ \RR}\)). Domkniętość możesz pokazać pokazując, że do każdego elementy \(\displaystyle{ A}\) da się dążyć jakimś ciągiem. Istotnie każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ 1+(-1)^k/k}\) i da się do niego dążyć ciągiem stałym lub jest to \(\displaystyle{ 1}\) i ciąg \(\displaystyle{ \left( 1+(-1)^n/n\right)_{n=1}^{\infty} }\) do niego dąży. Więc da się dążyć do każdego elementu \(\displaystyle{ A}\). Co do otwartości to możesz z definicji próbować.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: Jan Kraszewski »

Janusz Tracz pisze: 6 gru 2021, o 22:58Co do otwartości to możesz z definicji próbować.
Dokładniej: braku otwartości.

JK
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbadać czy zbiór jest zwarty, czy jest otwarty w R

Post autor: Janusz Tracz »

Pokryciowa zwartość:    
ODPOWIEDZ