Topologia Zariskiego

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Topologia Zariskiego

Post autor: malwinka1058 »

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) z topologią Zariskiego wyznaczyć wnętrze i domknięcie zbiorów: \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), \(\displaystyle{ \mathbb{Q'}}\), \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\).
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Topologia Zariskiego

Post autor: Gosda »

W topologii Zariskiego domknięte są dokładnie zbiory miejsc zerowych wielomianów jednej zmiennej, czyli (w naszym przypadku) zbiory skończone oraz cała prosta rzeczywista. Co dalej?
malwinka1058
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 163
Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Re: Topologia Zariskiego

Post autor: malwinka1058 »

Na pewno zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Q'}}\) jest otwarty (jego dopełnienie jest przeliczalne), więc zbiór ten jest równy swojemu wnętrzu. Jego domknięcie natomiast to przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) (?)

Zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jako jego dopełnienie jest z kolei domknięty (?) i równy swojemu domknięciu, a wnętrze puste?

Ostatni ze zbiorów na pewno nie jest otwarty, ale co więcej, nie potrafię stwierdzić...
Awatar użytkownika
Gosda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 340
Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Oulu
Podziękował: 42 razy
Pomógł: 60 razy

Re: Topologia Zariskiego

Post autor: Gosda »

Myślałem, że w topologii Zariskiego domknięte są dokładnie cała przestrzeń i zbiory skończone... (jak pisałem wcześniej). Zatem otwarte są pusty i zbiory o skończonym dopełnieniu. W szczególności, zbiór \(\displaystyle{ \mathbb Q}\) ma puste wnętrze (bo każdy jego podzbiór nie zawiera nieskończenie wielu liczb, np. \(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot n }\) dla \(\displaystyle{ n}\) naturalnego) i nie jest domknięty (bo nie jest ani całą przestrzenią, ani skończony). Jego domknięciem jest zbiór liczb rzeczywistych.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Topologia Zariskiego

Post autor: Roshita »

Czy odpowiedziami będą dla:
1) \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)
wnętrze: \(\displaystyle{ \emptyset}\) czy \(\displaystyle{ (0,1)}\)?
domknięcie: \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
brzeg:\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
2) \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\)
wnętrze: \(\displaystyle{ \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}\)
domknięcie: \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
brzeg:\(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)
3) \(\displaystyle{ [0,1]}\)
wnętrze: \(\displaystyle{ \emptyset}\)
domknięcie: \(\displaystyle{ [0,1]}\)
brzeg:\(\displaystyle{ [0,1]}\)
?
ODPOWIEDZ