Granica funkcji na podzbiorze gęstym

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2074
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 78 razy
Pomógł: 310 razy

Granica funkcji na podzbiorze gęstym

Post autor: matmatmm » 19 lip 2021, o 22:55

Niech \(\displaystyle{ (X,d)}\) będzie przestrzenią metryczną, \(\displaystyle{ x_0\in X}\), \(\displaystyle{ F:X\setminus\{x_0\}\rightarrow \RR}\) będzie funkcją ciągłą oraz \(\displaystyle{ D\subset X}\) będzie podzbiorem gęstym. Ponadto istnieje skończona granica funkcji \(\displaystyle{ f=F|_{D\setminus\{x_0\}}}\) przy \(\displaystyle{ x\to x_0}\). Czy stąd wynika, że istnieje granica funkcji \(\displaystyle{ F}\) przy \(\displaystyle{ x\to x_0}\) (równa granicy \(\displaystyle{ f}\))?

Moje próby dowodu spełzły na niczym. Jeśli istnieje kontrprzykład, to jakie dodatkowe założenia są potrzebne?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9554
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2128 razy

Re: Granica funkcji na podzbiorze gęstym

Post autor: Dasio11 » 19 lip 2021, o 23:59

Dla ustalonego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje \(\displaystyle{ \delta > 0}\), taka że dla \(\displaystyle{ x \in B(x_0, \delta) \cap (D \setminus \{ x_0 \})}\) zachodzi \(\displaystyle{ |F(x) - F(x_0)| \le \varepsilon}\). Wystarczy wykazać, że ta nierówność zachodzi w istocie dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in B(x_0, \delta) \setminus \{ x_0 \}}\). Jeśli nie zachodzi dla pewnego \(\displaystyle{ x}\), to z ciągłości nie zachodzi na pewnej kuli \(\displaystyle{ B(x, \eta)}\). Zbiór \(\displaystyle{ \big( B(x_0, \delta) \setminus \{ x_0 \} \big) \cap B(x, \eta)}\) jest otwarty i niepusty (bo należy doń \(\displaystyle{ x}\)), więc można w nim znaleźć jakiś element \(\displaystyle{ y \in D}\), a to jest sprzeczne z wyborem delty.

ODPOWIEDZ